а) Красивое разбиение неравнобедренного прямоугольного треугольника (это самый простой случай) показано на рисунке 1, а, равнобедренного — на рисунке 1, б.
б) Ответ: нельзя. Доказательство приведём от противного. Допустим, что красивое разбиение равностороннего треугольника $\triangle$ существует, и оценим число $N$ «внутренних» сторон составляющих его треугольников, т. е. сторон, лежащих внутри треугольника $\triangle$. Концы этих сторон (вершины треугольников разбиения) бывают трёх типов:
1-й тип — точки, лежащие внутри сторон треугольника (пример — точка $A$ на рисунке 2, а); из каждой такой точки выходят 4 внутренние стороны ($AB$, $AC$, $AD$ и $AE$ на рисунке);
2-й тип — точки внутри треугольника $\triangle$, в которых сходятся 6 треугольников разбиения; из такой точки выходят 12 внутренних сторон (рис. 2, б);
3-й тип — точки, лежащие внутри какой-либо стороны треугольника разбиения (рис. 2, в); такая точка служит концом для 6 внутренних сторон.
Рис. 2
Обозначим число точек каждого типа через $n_1$, $n_2$, $n_3$ соответственно. Поскольку каждая сторона имеет два конца, число внутренних сторон равно
$$
N=\dfrac{1}{2}(4n_1+12n_2+6n_3)=2n_1+6n_2+3n_3.
$$
В то же время, каждой точке $A$ 3-го типа можно сопоставить три внутренние стороны: сторону $s$, внутри которой лежит точка $A$, и две примыкающие к $s$ стороны, выходящие из вершины $A$ (на рис. 2, в точке $A$ сопоставляются стороны $s=BC$, $AD$ и $AE$). При этом каждая внутренняя сторона будет сопоставлена хотя бы одной точке 3-го типа — в противном случае внутри этой стороны нет вершин разбиения и сама она не содержится ни в какой большей стороне, а значит, она является общей для двух треугольников разбиения; но это невозможно, так как треугольники разбиения не должны быть равными. Отсюда следует, что $N\le3n_3$, т. е. $2n_1+6n_2+3n_3\le3n_3,$ или $2n_1+6n_2\le0$ и, таким образом, $n_1=n_2=0$. Но если на сторонах исходного треугольника $\triangle$ нет вершин разбиения ($n_1=0$), то нет и разбиения, как такового, — оно состоит из одного треугольника $\triangle$.
в) Ответ: красивое разбиение имеется у любого неравностороннего треугольника. Его построение показано на рисунке 3 (равные углы отмечены на рисунке дужками одного цвета).
Рис. 3
Удобно решать как бы обратную задачу: дополнить заданный треугольник $ABC$ до большего подобного ему треугольника другими подобными ему и попарно различными треугольниками. Очевидно, эта задача эквивалентна исходной. Пусть для определённости $|BC|:|AC|=k\gt1$. Пристроим к треугольнику $\triangle_0=ABC$ подобные треугольники $\triangle_1$, $\triangle_2$, $\triangle_3$, $\triangle_4$ и $\triangle_5$ в соответствии с рисунком 3. Легко видеть, что при этом коэффициент подобия треугольников $\triangle_{n+1}$ и $\triangle_n$ для $n=1$, 2, 3, 4 равен $k$, поэтому коэффициент подобия треугольников $\triangle_0$ и $\triangle_n$ при $n=1$, 2, 3, 4 равен $k^n$, а $\triangle_5$ и $\triangle_0$ — $|CM|:|AB|=(|CK|+|CM|):|AB|=k+k^3$. Отсюда ясно, что единственной парой конгруэнтных треугольников здесь могут быть только $\triangle_5$ и $\triangle_4$ — если $k+k^3=k^4$. В последнем случае дополним конструкцию треугольниками $\triangle_6$, $\triangle_7$, а $\triangle_5$ заменим на $\triangle_8=CNL$ (см. рис. 3). Снова единственной парой конгруэнтных треугольников среди $\triangle_0$, $\triangle_1$, $\triangle_2$, $\triangle_3$, $\triangle_4$, $\triangle_6$, $\triangle_7$ и $\triangle_8$ могут быть только $\triangle_8$ (подобный $\triangle_0$ с коэффициентом $|CN|:|AB|=k+k^3+k^5$) и $\triangle_7$ (подобный $\triangle_0$ с коэффициентом $k^6$). Но если $k+k^3=k^4$, то $k+k^3+k^5\gt k^3+k^5=k^2(k+k^3)=k^6$, а значит $\triangle_7$ и $\triangle_8$ не конгруэнтны.
Итак, любой неравносторонний треугольник имеет красивое разбиение (на 6 или на 8 треугольников).
