Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — данные числа, $b_1=\{a_1\}$, $b_2=\{a_1+a_2\}$, $\ldots$, $b_n=\{a_1+a_2+\ldots+a_n\}$ ($\{x\}$ — дробная часть $x$). Все числа $b_1$, $\ldots$, $b_n$ лежат в промежутке $[0; 1[$. Разделим его на $n+1$ равных промежутков $\Delta_0=\left[0;\dfrac{1}{n+1}\right[$, $\Delta_1=\left[\dfrac{1}{n+1};\dfrac{2}{n+1}\right[$, $\ldots$, $\Delta_n=\left[\dfrac{n}{n+1}; 1\right[$. Если хотя бы одно из чисел $b_i$ попадёт в один из крайних промежутков $\Delta_0$ или $\Delta_n$, то утверждение задачи, очевидно, будет выполнено для суммы $a_1+\ldots+a_i$. В противном случае в $n-1$ промежутках $\Delta_1$, $\ldots$, $\Delta_{n-1}$ будет расположено $n$ точек $b_1$, $\ldots$, $b_n$, поэтому хотя бы в одном из них окажутся две точки, $b_k$ и $b_l$. Пусть $k \gt l$, тогда
$$\begin{gather*}
a_{l+1}+a_{l+2}+\ldots+a_k=(a_1+\ldots+a_k)-(a_1+\ldots+a_l)= \\
=\text{целое число}+(b_k-b_l),
\end{gather*}$$
т. е. $a_{l+1}$, $\ldots$, $a_k$ — искомые числа (ибо $|b_k-b_l| \lt \dfrac{1}{n+1}$).
Легко видеть, что число $\dfrac{1}{n+1}$ в условии уменьшить нельзя — достаточно взять все числа равными $\dfrac{1}{n+1}$.
