Постройте график функции
$$
f_0(x)=||x-1|-2||x|-3||.
$$
На рисунке 1 изображены графики трёх «кусочно-линейных» функций $f_1$, $f_2$, $f_3$. Запишите формулы для них в виде
$$
y=kx+b+c_1|x-a_1|+\ldots+c_m|x-a_m|,
$$
где $k$, $b$, $c_i$, $a_i$ — некоторые числа, $m$ — количество точек излома графика, $a_i$ — абсциссы точек излома, $i=1$, 2, $\ldots$, $m$).
Запишите в таком же виде функцию $f_0$ из пункта а).
Некоторая функция является комбинацией линейных функций, «модуля» и операции сложения, причём знак модуля использован в её записи $n$ раз (в примере а) $n=4$). Какое наибольшее число изломов (при каждом $n$) может иметь её график?
а) График функций $f_0$ изображён красным (рис. 2). Он является ломаной с конечным числом вершин — точек излома и двумя бесконечными крайними звеньями; функции с такими графиками называются кусочно-линейными. Хотя построение этого графика вполне стандартно, мы остановимся на нём подробнее — это позволит сделать несколько замечаний, полезных при решении задачи г).
Рис. 2
Пусть $f(x)=|x-1|-2||x|-3|$, тогда $f_0(x)=|f(x)|$, и потому график $f_0$ получается из графика $f$ (чёрная линия на рисунке 2) отражением его части, лежащей ниже оси абсцисс, относительно этой оси. Ясно, что это правило построения графика $|f|$ справедливо для любой функции $f$. В частности, из него следует, что:
если $m(f)$ — число изломов кусочно-линейной функции $f$, то
$$
m(|f|)\le2m(f)+1.
$$
(Действительно, при переходе от $f$ к $|f|$ новые изломы появляются там, где график функции $f$ пересекает ось $Ox$, т. е. не более чем по одному на каждом звене, а число звеньев на 1 больше числа изломов $m(f)$.)
Далее, функция $f$ есть сумма функций $g(x)=|x-1|$ и $h(x)=-2||x|-3|$, поэтому она может иметь изломы только там, где есть излом хотя бы у одного из слагаемых, т. е. в точках, где обращаются в нуль выражения, стоящие под модулем: $x-1$, $x$ или $|x|-3$, это точки $-3$, 0, 1 и 3. Точно так же вообще
для любых кусочно-линейных функций $g$ и $h$
$$
m(g+h)\le m(g)+m(h).
$$
На каждом из промежутков $(-\infty;-3]$, $[-3;0]$, $[0;1]$, $[1;3]$ и $[3;+\infty)$ функции $g$, $h$ и, следовательно, $f$ линейны. «Раскрывая модули», получим, что $f(x)=-x+1$ при $x\le-3$, $f(x)=-3x-5$ при $-3\le x\le0$ и т. д., после чего можно построить каждое звено графика. (Впрочем, «раскрывать модули» необязательно. Для построения графика, очевидно, достаточно построить его точки излома и по точке на бесконечных звеньях, т. е. найти значения $f(-3)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$ и, скажем, $f(4)$ и $f(-4)$.
Решим задачу сразу в общем виде. Пусть $f$ — кусочно-линейная функция с изломами в точках с абсциссами $a_1$, $\ldots$, $a_m$ и пусть $k_0$, $k_1$, $\ldots$, $k_m$ — угловые коэффициенты звеньев её графика на промежутках $(-\infty;a_1]$, $[a_1;a_2]$, $\ldots$, $[a_m;+\infty)$. Покажем, что её можно единственным образом представить в виде
$$
f(x)=kx+b+c_1|x-a_1|+\ldots+c_m|x-a_m|.\tag1
$$
Это можно сделать, «раскрыв модули» на каждом из $m+1$ промежутков, приравняв коэффициент при $x$ в получившемся выражении для $f(x)$ к соответствующему $k_i$ и решив возникающую систему уравнений относительно $k$, $c_1$, $\ldots$, $c_m$. Но можно сразу найти значения $c_1$, $\ldots$, $c_m$.
Пусть $l_i(x)$ — линейная функция, совпадающая с $f(x)$ на $i$-м промежутке; её угловой коэффициент равен $k_i$. Если функция $f(x)$ представима в виде (1), т. е. $f(x)=c_i|x-a_i|+h(x)$, где $h(x)$ — линейная на промежутке $[a_{i-1};a_{i+1}]$ функция, то на этом промежутке $l_{i-1}(x)=c_i(a_i-x)+h(x)$, $l_i(x)=c_i(x-a_i)+h(x)$, а угловой коэффициент разности $l_i(x)-l_{i-1}(x)=2c_ix$ равен $k_i-k_{i-1}$. Следовательно, должны выполняться равенства $c_i=\dfrac{k_i-k_{i-1}}2$, $i=1$, 2, $\ldots$, $m$. Обратно, если они выполняются, то функция $c_1|x-a_1|+\ldots+c_m|x-a_m|$ имеет изломы в тех же точках, что и $f$, и изменение углового коэффициента при переходе через любую из этих точек для обеих функций будет одинаковым. Поэтому разность этих функций — линейная функция $kx+b$. Угловые коэффициенты левой и правой частей (1) при $x\gt a_m$ равны $k_m$ и $k+c_1+\ldots+c_m=k+\dfrac{k_m-k_1}2$ соответственно, поэтому $k=\dfrac{k_1+k_m}2$. Значение $b$ можно найти, подставляя в (1) любое конкретное значение $x$, например $x=0$.
Коэффициенты $k_0$, $\ldots$, $k_9$ для функции $f_0$ выписаны над её графиком (рис. 2). Подставляя их в полученные формулы, найдём приведённый выше ответ.
г) Ответ: Если в запись функции $f$, рассматриваемой в задаче, знак модуля входит $n$ раз, то число изломов $m(f)$ её графика не превосходит $2^n-1$.
Это утверждение мы докажем индукцией по $n$. При $n=0$ оно очевидно (у линейной функции изломов нет). Пусть оно верно, если число модулей меньше $n$, а в запись функции $f$ входит $n$ модулей. Тогда эту функцию можно представить в виде $f=|g|+h$, причём функция $g$ записывается с $n_1$ модулями, а $h$ — с $n_2$ модулями, где $n_1+n_2=n-1$. В силу утверждений 1) и 2) пункта а) и предположения индукции
$$
\begin{gather*}
m(f)\le m(|g|)+m(h)\le 2m(g)+1+m(h)\le2\cdot(2^{n_1}-1)+1+2^{n_2}-1=\\
=2^{n_1+1}+2^{n_2}-2\le 2^{n_1+n_2+1}-1=2^n-1,
\end{gather*}
$$
поскольку $2^{n_1+n_2+1}-2^{n_1+1}-2^{n_2}+1=(2^{n_1+1}-1)(2^{n_2}-1)\ge0$.
График функции $g=||\ldots|||x|-2^{n-2}|-2^{n-3}|-\ldots|-1|$ (см. рис. 3 для $n=3$) имеет ровно $2^n-1$ изломов (при $n$ модулей в записи функции), поэтому оценка в задаче точная.
