а) Если квадрат разрезан на $n$ квадратов, то, разрезая любой из них на 4 равных квадрата, мы получим разрезание исходного на $n+3$ квадрата. Поэтому достаточно придумать разрезания для $n=6$ (что даёт все $n=3k$, $k=2$, 3, $\ldots$), для $n=7$ (что даёт все $n=3k+1$) и для $n=8$ (что даёт все $n=3k+2$). Эти разрезания показаны на рисунке 1.
б) Идея решения такая же, как в пункте а). Разрезая любой из кубов, составляющих исходный куб, на
$m$ равных кубов, мы увеличим общее число частей на
$m-1$. Нам понадобятся три основных способа разрезания: для
$m=8$ (по схеме
$2\times2\times2$), для
$m=20=3^3-2^3+1$ (8 кубов из 27, образующих куб
$3\times3\times3$, заменяются на один размером
$2\times2\times2$; рис. 2) и для
$m=38=4^3-3^3+1$ (27 кубов в разрезании
$4\times4\times4$ заменяются на один размером
$3\times3\times3$; рис. 3). Комбинируя эти разрезания по указанному принципу, мы получим, что куб можно разрезать на
$n$ кубов для
$n=1+7k$,
$(1+19)+7k$,
$(1+2\cdot19)+7k$,
$(1+3\cdot19)+7k$,
$(1+4\cdot19)+7k$,
$(1+37)+7k$,
$(1+2\cdot37)+7k$
($k=0$,
$1$,
$2$,
$\ldots$).
А так как первые слагаемые в этих выражениях — 1, 20, 39, 58, 77, 38 и 75 — меньше 100 и дают при делении на 7 все возможные остатки (соответственно, 1, 6, 4, 2, 0, 3 и 5), среди выписанных чисел содержатся все числа
$n$,
$n\ge100$. В действительности, как легко понять, среди этих чисел содержатся все числа, большие 70. Подумайте, моно ли ещё уменьшить эту границу.
Рисунок номер 1
Рисунок номер 2
Рисунок номер 3
