Школьник упражняется в решении квадратных уравнений. Выписав какое-то уравнение $x^2+p_1x+q_1=0$, он решает его и, убедившись, что оно имеет два корня, составляет второе уравнение $x^2+p_2x+q_2=0$, в котором $p_2$ — это меньший, а $q_2$ — больший корень первого уравнения. По второму уравнению он составляет третье, если это возможно, и т. д.
Докажите, что это упражнение не может продолжаться бесконечно долго.
Найдите наибольшую длину конечной последовательности квадратных трёхчленов, удовлетворяющих указанному условию.
М. В. Сапир
Всесоюзная математическая олимпиада школьников (1983 год, 10 класс)
а) Решение основано на изучении знаков коэффициентов уравнений.
Пусть $f_n(x)=x^2+p_nx+q_n=0$ — $n$-е уравнение в рассматриваемой последовательности. Докажем такое утверждение:
если $n\ge3$ и уравнение $f_n(x)=0$ не последнее,
то числа $p_n$ и $q_n$ либо оба положительны, либо оба отрицательны.
Жёлтым цветом выделено множество точек плоскости $(p,q)$, координаты которых удовлетворяют неравенству $q\gt-p(1+q)$; красной штриховкой — решения системы неравенств $q\gt p$ и $4q\lt p^2$. В жёлтых областях с красной штриховкой лежат точки, координаты $(p,q)$ которых могут служить коэффициентами уравнения, не являющегося ни первым, ни вторым, ни последним в рассматриваемой последовательности.
Пользуясь теоремой Виета, выразим коэффициенты квадратного трёхчлена $f_{n-1}(x)$ через $p_n$ и $q_n$. Имеем
$$
p_{n-1}=-(p_n+q_n),\quad q_{n-1}=p_nq_n.\tag1
$$
По условию $p_n\lt q_n$ и $p_{n-1}\lt q_{n-1}$, т. е. $-(p_n+q_n)\lt p_nq_n$ или $q_n\gt-p_n(1+q_n)$. Присоединяя к этим неравенствам условие положительности дискриминанта трёхчлена $f_n(x)$, получим систему
$$\begin{align*}
q_n&\gt p_n,\\
q_n&\gt-p_n(1+q_n),\tag2\\
4q_n&\lt p_n^2,\tag3
\end{align*}$$
которая решена графически на полях. Из графика сразу следует наше утверждение. (Впрочем, его нетрудно доказать и алгебраически: случай $p_n\ge0\ge q_n$ невозможен ($q_n\gt p_n$); если же $p_n\le0\le q_n$, то из (2) и (3) получим, что $q_n^2\gt p_n^2(1+q_n)^2\gt4q_n(1+q_n)^2$, или $4q_n^3+7q_n^2+4q_n\lt0$, что также невозможно при $q_n\ge0$.)
Теперь допустим, что число уравнений в последовательности не меньше пяти. Если уравнение $f_5(x)=0$ не последнее, то из доказанного утверждения и соотношений (1) вытекает, что возможны только два случая: либо $0\lt p_5\lt q_5$, и тогда $p_4\lt0\lt q_4$, либо $p_5\lt q_5\lt0$, и тогда $0\lt p_4\lt q_4$, а $p_3\lt0\lt q_3$. И то, и другое противоречит нашему утверждению. Следовательно, рассматриваемая последовательность уравнений всегда обрывается, причём не позднее пятого шага.
б) Ответ: наибольшая длина последовательности квадратных трёхчленов равна 5.
Из решения задачи а) видно, что составить больше пяти уравнений по указанному закону нельзя. Следующий пример показывает, что последовательность длины 5 существует (она выписана с конца — в том порядке, в котором её удобнее строить по формулам (1)):
$$\begin{align*}
f_5(x)&=x^2-\dfrac12x+4,\\\\[-12pt]
f_4(x)&=x^2-\dfrac72x-2,\\\\[-12pt]
f_3(x)&=x^2+\dfrac{11}2x+7,\\\\[-12pt]
f_2(x)&=x^2-\dfrac{25}2x+\dfrac{77}2,\\\\[-12pt]
f_1(x)&=x^2-26x-\dfrac{1925}4.
\end{align*}$$
