Будем считать, что множество $M$ расположено на числовой прямой и составлено из отрезков $[a_1,b_1]$, $[a_2,b_2]$, $\ldots$, $[a_k,b_k]$, $a_1\lt b_1\lt a_2\lt b_2\lt\ldots\lt b_k$. Длины этих отрезков обозначим, соответственно, $\delta_1$, $\delta_2$, $\ldots$, $\delta_k$. Для каждой пары номеров $i$ и $j$ ($1\le i\le j\le k$) через $M_{ij}$ обозначим множество длин отрезков с концами, лежащими на отрезках $[a_i,b_i]$ и $[a_j,b_j]$. Эти множества, очевидно, на числовой прямой образуют отрезки, длины которых равны $\delta_i$, если $i=j$, и $\delta_i+\delta_j$, если $i\lt j$. По условию задачи сумма длин этих отрезков не меньше 1. Следовательно,
$$
\delta_1+(\delta_1+\delta_2)+\ldots+(\delta_1+\delta_k)+
\delta_2+(\delta_2+\delta_3)+\ldots+(\delta_2+\delta_k)+\ldots+\delta_k\ge1.
$$
В сумме, написанной в левой части неравенства, каждое $\delta_j$ ($j=1$, $\ldots$, $k$) встречается $k$ раз. Таким образом, $k(\delta_1+\delta_2+\ldots+\delta_k)\ge1,$ откуда $\delta_1+\delta_2+\ldots+\delta_k\ge\dfrac1k$, что и требовалось.
