Заметим, что целая часть числа $a\ge1$ равна количеству натуральных чисел, меньших или равных $a$. В частности, $[\sqrt[k]{n]}-1$ есть число натуральных $y\ge2$, таких что $y\le \sqrt[k]{n}$, то есть $y^k\le n$. Следовательно, сумма $([\sqrt{n]}-1)+([\sqrt[3]{n]}-1)+\ldots+([\sqrt[n]{n]}-1)$ равна количеству $N$ всех пар ($x,y$) натуральных чисел, больших 1, удовлетворяющих неравенству $y^x\le n$ (при $x\gt n$ это неравенство решений не имеет, так как $2^n\ge n$).
Аналогично рассматривается правая часть: $[\log_m{n}]-1$ — это число натуральных $x\ge 2$, таких, что $x\le \log_m{n}$, то есть $m^x\le n$. Поэтому
$$
([\log_2{n}]-1)+([\log_3{n}]-1)+\ldots+([\log_n{n}]-1)=N
$$
(при $m\gt n$, $y\ge 2$ неравенство $m^y\le n$, очевидно, не выполняется).
Итак, обе части нашего равенства равны $N+n-1$.
