Условие задачи (1983, № 4) Задача М800 // Квант. — 1983. — № 4. — Стр. 39—40; 1984. — № 6. — Стр. 19—23.
- На плоскости отмечены все точки с целочисленными координатами — узлы квадратной решётки, и среди них выделен один «начальный» узел
$O$. Для каждого из остальных узлов$P$ проведена прямая, относительно которой узлы$O$ и$P$ симметричны, — серединный перпендикуляр к отрезку$OP$. Проведённые прямые разбивают плоскость на мелкие части (треугольники и выпуклые многоугольники). Припишем каждой из них натуральное число — ранг — по следующему правилу: часть, содержащая точку$O$ (она имеет форму квадрата), получает ранг 1, части, граничащие с ней по стороне, — ранг 2, части, граничащие с ними по стороне (и отличные от уже рассмотренных) — ранг З и т. д. (рис. 1). Докажите, что суммарная площадь всех частей ранга$r$ одна и та же при всех натуральных$r$. - Верно ли аналогичное утверждение для произвольной решётки из параллелограммов (в частности, из ромбов с углом в
$60\degree$)? Для решётки из правильных шестиугольников? - Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для кубической решётки в пространстве.
Изображения страниц
Решение задачи (1984, № 6) Задача М800 // Квант. — 1983. — № 4. — Стр. 39—40; 1984. — № 6. — Стр. 19—23.
Текстовое представление решения задачи находится в процессе подготовки. С графическим представлением можно ознакомиться в опубликованном номере