Задача М798‍‍‍

На окружности отметили $4k$‍‍ точек и раскрасили их попеременно в красный и синий цвета; затем $2k$‍‍ красных точек произвольным образом соединили попарно $k$‍‍ красными отрезками, а $2k$‍‍ синих — $k$‍‍ синими отрезками (никакие три отрезка не пересекаются в одной точке). Докажите, что найдётся по крайней мере $k$‍‍ точек пересечения красных отрезков с синими.