Задача М774‍‍‍

Функция $f(x)$‍,‍ определённая на отрезке $[0;1]$‍,‍ такова, что $$ f(0)=f(1)=0\tag1 $$ и $$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le f(x)+f(y)\tag2 $$ для всех $x$‍,‍ $y\in[0;1]$‍.‍ Докажите, что:

1. $f(x)\ge0$‍‍ при всех $x\in[0;1]$‍;‍
2. $f(x)$‍‍ имеет бесконечно много нулей на отрезке $[0;1]$‍;‍
3. если существует такое число $A\ge0$‍,‍ что для всех $x\in\left[0;\dfrac12\right]$‍‍ выполнено неравенство $f(x)\le A$‍,‍ то $f(x)\le A$‍‍ для каждого $x\in[0;1]$‍;‍
4. если функция $f(x)$‍‍ непрерывна хотя бы в одной точке $x_0$‍‍ отрезка $[0;1]$‍,‍ то $f(x)=0$‍‍ для всех $x\in[0;1]$‍;‍
5. существуют функции $f(x)$‍,‍ удовлетворяющие условиям (1), (2), не равные тождественно нулю.