В основании треугольной пирамиды $PABC$ лежит правильный треугольник $ABC$. Докажите, что если углы $PAB$, $PBC$, $PCA$ конгруэнтны, то пирамида $PABC$ — правильная.
Первое решение. Можно считать, что длина стороны основания равна 1. Пусть $x\ge y\ge z$ — длины рёбер $PA$, $PB$ и $PC$. Ясно, что $x+y\ge x+z\ge y+z\ge1$.
Рис. 1
По теореме косинусов (см. рис. 1)
$$\begin{gather*}
x^2+1=y^2+ax,\\
y^2+1=z^2+ay,\\
z^2+1=x^2+az,
\end{gather*}$$
где $a=2\cos\alpha$ ($0\lt a\lt2$). Отсюда сдедует, что $$
\begin{gather*}
\begin{cases}
x^2-y^2=y^2-z^2+a(x-y),\\
y^2-z^2=z^2-x^2+a(y-z),\\
z^2-x^2=x^2-y^2+a(z-x),
\end{cases}\\[9pt]
(x+y-a)(x-y)=(y-z)(y+z),\\
(y+z-a)(y-z)=(z-x)(z+x),\\
(z+x-a)(z-x)=(x-y)(x+y),
\end{gather*}$$
Легко видеть, что если какие-либо два из чисел $x$, $y$, $z$ равны, то равны и все три числа.
Предположим, что $x\ne y$, $y\ne z$, $x\ne z$. Перемножив уравнения последней системы, получим после сокращений
$$(x+y-a)(y+z-a)(z+x-a)=(y+z)(z+x)(x+y).\tag{*}$$
Поскольку правая часть (*) положительна, должна быть положительна и левая часть. При этом, если все три сомножителя положительны, то равенство (*) невозможно.
Следовательно, $y+z-a\lt0$, $z+x-a\lt0$, $x+y-a\gt0$. Кроме того, $(x+z)+(y+z)\gt2\gt2a$. Поэтому
$$
\begin{gather*}
(y+z-a)(x+z-a)=(y+z)(x+z)-(x+z+y+z)a+a^2=\\
=(x+z)(y+z)+a(a-(x+z+y+z))\lt(x+z)(y+z)+a(a-2)\lt(x+z)(y+z)
\end{gather*}
$$
Поэтому левая часть произведения (*) меньше правой. Противоречие.
Второе решение. Построим на плоскости угол $\alpha$. На одной из его сторон отложим отрезок $|OK|=1$, а на другой — отложим отрезки $OP=x$, $|OQ|=y$, $|OR|=z$ (рис. 2). Получившиеся треугольники конгруэнтны граням пирамиды, причём $|PK|=y$, $|QK|=z$, $|RK|=x$.
Рис. 2
Из треугольника $RQK$ получаем $x=|RK|\lt|QR|+|QK|=y-z+z=y$, т. е. $x\lt y$ — противоречие!
