Пусть $A$ и $B$ — точки пересечения прямой $l$ с контуром многоугольника, $h$ и $k$ — отрезки его проекции на перпендикулярную ей прямую, $h\gt k$ (рис. 1; отрезок $h$ — проекция голубой, $k$ — красной половины многоугольника). Докажем, что $\dfrac hk\le1+\sqrt2$. Соединим самую далёкую от $l$ точку $C$ многоугольника в голубой полуплоскости (она проектируется в конец отрезка $h$) с точками $A$ и $B$ и продолжим отрезки $CA$ и $CB$ до пересечения в точках $E$ и $F$ с прямой, параллельной $l$ и содержащей самую далёкую от $l$ точку $G$ в красной полуплоскости (эта прямая проходит через конец отрезка $k$). Поскольку многоугольник выпуклый, отрезки $AC$ и $BC$ и весь $\triangle ABC$ содержатся в голубой половине многоугольника, а отрезки $EA$ и $BF$ лежат вне многоугольника, так что трапеция $EABC$ содержит его красную половину. Поскольку площади той и другой половин многоугольника равны, то площадь трапеции $EABC$ не меньше площади $\triangle ABC$, поэтому $S_{ECF}\ge2S_{ABC}$, а поскольку треугольники $ECF$ и $ACB$ подобны, причём коэффициент подобия (отношение высот) $\dfrac{k+h}h$, то $$
\left(\dfrac{k+h}h\right)^2\ge2,\quad\dfrac kh+1\ge\sqrt2,\quad\dfrac hk\le\sqrt2+1.
$$
Из решения видно, что равенство достигается только для треугольников, одна сторона которых параллельна $l$.
б) Пусть каждая из прямых $l_1$, $l_2$ и $l_3$ делит площадь фигуры пополам, $S_1$, $S_2$, $S_3$, $S_4$, $S_5$, $S_6$, $S_7$ — площади частей, на которые фигура разбивается этими прямыми (см. рис. 2), а $S$ — площадь всей фигуры.
Поскольку $S_3+S_4+S_5=S_3+S_2+S_7=\dfrac S2$, то $S_4+S_5=S_2+S_7$, и поэтому $S_3=S_1+S_6$. Значит, $S_3\gt S_1$.
Кроме того, $\dfrac12S=S_2+S_4+S_3+S_1$, откуда следует, что $\dfrac12S\gt2S_1$, т. е. $S_1\lt\dfrac14S$. Равенство достигается для невыпуклой фигуры, показанной на рисунке 3.
Пункты а) и б) этой задачи возникли при попытках выяснить, каким может быть отношение площади треугольника $S_1$, ограниченного тремя прямыми $l_1$, $l_2$, $l_3$, каждая из которых делит площадь данного выпуклого многоугольника пополам, к площади $S$ всего многоугольника. По-видимому, это отношение наибольшее в случае, когда исходный многоугольник является треугольником, а прямые $l_1$, $l_2$, $l_3$ параллельны его сторонам, т. е. всегда справедливо неравенство $S_1\lt\alpha S$, где $\alpha=\dfrac{17-12\sqrt2}2\approx0{,}0147$. Попробуйте выяснить, верно ли это.
