Внутри выпуклого четырёхугольника, у которого сумма шести попарных расстояний между вершинами
(т. е. сумма длин всех сторон и диагоналей) равна $S_1$, расположен другой, для которого эта сумма равна $S_2$.
Может ли величина $S_2$ быть больше $S_1$?
Докажите, что $S_2\lt\dfrac{4S_1}3$.
Докажите, что если внутри произвольного тетраэдра с суммой длин рёбер $S_1$, расположен другой, для которого эта сумма равна $S_2$, то $S_2\lt\dfrac{4S_1}3$.
П. Б. Гусятников
Всесоюзная математическая олимпиада школьников (1982 год, 10 класс)
Для любых четырёх точек $A$, $B$, $C$, $D$ плоскости или пространства (не обязательно различных) обозначим через $P_{ABCD}$ сумму длин всех шести отрезков, соединяющих попарно эти точки.
Рис. 1
а) Ответ: может. Один из примеров показан на рисунке 1: первый четырёхугольник $ABCD$ сильно вытянут вдоль диагонали $AC$, причём $|AB|=|AD|=|AC|=a$, второй — $ABCN$ — вписан в первый так, что его вершина $N$ лежит на отрезке $AD$ вблизи точки $A$. Ясно, что $S_2=P_{ABCN}\gt S_1=P_{ABCD}$. Более того, если устремить длины отрезков $BD$ и $AN$ к нулю, то $S_2$ будет стремиться к $4a$, а $S_1$ — к $3a$, поэтому $S_2:S_1$ будет стремиться к $\dfrac43$.
б) Доказательство неравенства $S_2\lt\dfrac{4S_1}{3}$ для четырёхугольников легко получить незначительным изменением приводимого дальше доказательства для тетраэдров.
в) В основе решения лежит следующая
Лемма (рис 2). Если точка $H$ лежит на отрезке $H_1H_2$, то для любых трёх точек $E$, $F$, $G$ $P_{EFGH}\le P_{EFGH_1}$ или $P_{EFGH}\le P_{EFGH_2}$.
Доказательство. Пусть $\overrightarrow{H_1H}=\lambda\overrightarrow{H_1H_2}$. Тогда $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{EH_1}+\lambda\overrightarrow{H_1H_2}=\lambda\overrightarrow{EH_2}+(1-\lambda)\overrightarrow{EH_1}$, следовательно, $|EH|\le\lambda|EH_2|+(1-\lambda)|EH_1|$.
Рис. 2
Аналогично,
$$
\begin{align*}
|FH|&\le\lambda|FH_2|+(1-\lambda)|FH_1|,\\
|GH|&\le\lambda|GH_2|+(1-\lambda)|GH_1|.
\end{align*}
$$
Складывая эти три неравенства с равенствами
$$
\begin{align*}
|EF|&=\lambda|EF|+(1-\lambda)|EF|,\\
|FG|&=\lambda|FG|+(1-\lambda)|FG|,\\
|GE|&=\lambda|GE|+(1-\lambda)|GE|,
\end{align*}
$$
получим
$$
P_{EFGH}\le\lambda P_{EFGH_2}+(1-\lambda)P_{EFGH_1},\tag1
$$
а поскольку $0\le\lambda\le1$, отсюда вытекает утверждение леммы.
Докажем теперь, что для любых четырёх точек $K$, $L$, $M$, $N$, лежащих внутри тетраэдра $ABCD$,
$$
P_{KLMN}\le\dfrac43P_{ABCD}.\tag2
$$
Проведём через точку $N$ отрезок $N_1N_2$ с концами на гранях $ABCD$. По лемме $P_{KLMN}$ не превосходит $P_{KLMN_1}$ или $P_{KLMN_2}$, поэтому можно считать, что точка $N$ лежит на одной из граней тетраэдра $ABCD$. Но тогда, проводя через точку $N$ отрезок с концами на рёбрах этой грани, мы сведём задачу к случаю, когда $N$ лежит на одном из рёбер тетраэдра. Наконец, применяя в этом случае лемму к точке $N$ и концам содержащего её ребра, мы получаем, что (2) достаточно проверить для четвёрок точек $K$, $L$, $M$, $N$, в которых $N$ — одна из вершин тетраэдра $ABCD$.
Применяя такое же рассуждение последовательно к вершинам $K$, $L$, $M$, заключаем, что неравенство (2) можно доказывать только для точек $K$, $L$, $M$, $N$, расположенных в вершинах тетраэдра $ABCD$. Если все эти точки различны, то $P_{KLMN}=P_{ABCD}\lt\dfrac43P_{ABCD}$.
Допустим теперь, что две из точек $K$, $L$, $M$, $N$ совпадают, например, $K=L=A$. Если совпадают и две другие точки, скажем, $M=N=B$, то, очевидно,
$$
P_{KLMN}=4|AB|=\dfrac43\cdot3|AB|\lt\dfrac43(|AB|+(|AC|+|CB|)+(|AD|+|DB|))\lt\dfrac43P_{ABCD}.\tag3
$$
Если точки $M$ и $N$ различны, $M=B$, $N=C$, то $P_{KLMN}=2|AB|+2|AC|+|BC|$. Пользуясь неравенствами $|AB|\lt|AD|+|DB|$, $|AC|\lt|AD|+|DC|$ и $$|AD|\lt\dfrac13(|AD|+(|AC|+|CD|)+(|AB|+|BD|))\lt\dfrac13P_{ABCD},$$ получим
$$
P_{KLMN}\lt|AB|+|AD|+|DB|+|AC|+|AD|+|DC|+|BC|=P_{ABCD}+|AD|\lt\dfrac43P_{ABCD}.
$$
Наконец, возможен случай, когда совпадают три вершины внутреннего тетраэдра, скажем, $K=L=M=A$, $N=B$. Тогда $P_{KLMN}=3|AB|\lt4|AB|$; далее см. (3).
Рис. 3
Коэффициент $\dfrac43$ в условии уменьшить нельзя. Для доказательства вернёмся к рисунку 1. Если чуть-чуть приподнять точку $C$ над плоскостью $ABD$, мы получим два тетраэдра — $ABCN$ и $ABCD$ — первый внутри второго (рис. 3). При этом, как мы показали в п. а), отношение $P_{ABCN}:P_{ABCD}$ можно сделать сколь угодно близким к $\dfrac43$.
