Задача М750‍‍‍

Докажите, что, как бы ни раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в $N$‍‍ цветов, найдутся

1. прямоугольник, вершины которого лежат в центрах клеток одного цвета (а стороны идут параллельно линиям сетки — по вертикальным и горизонтальным прямым — рис. 3, а);
2. $l$‍‍ горизонтальных и $m$‍‍ вертикальных прямых, которые пересекаются в центрах $lm$‍‍ клеток одного цвета ($l$‍‍ и $m$‍‍ — любые натуральные числа — рис. 3, б);
3. равнобедренный прямоугольный треугольник, вершины которого — центры клеток одного цвета, при $N=2$‍‍ (рис. 3, в);
4. то же для $N=3$‍.‍