а) Ответ: $2^4\cdot3^2\cdot5=720$. Очевидно, это число делится на 30; в пункте б) будет показано, что оно имеет ровно 30 делителей.
б) Ответ: $2\cdot3^2\cdot5^4$, $2\cdot3^4\cdot5^2$, $2^2\cdot3\cdot5^4$, $2^2\cdot3^4\cdot5$, $2^4\cdot3\cdot5^2$, $2^4\cdot3^2\cdot5$.
Количество делителей $d(n)$ натурального числа $n$ легко найти, разложив $n$ на простые множители. Действительно, пусть $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\ldots p_k^{\alpha_k}$, где $p_1\lt p_2\lt\ldots\lt p_k$ — простые числа, а $\alpha_i$ — натуральные ($i=1$, 2, $\ldots$, $k$). Тогда любой делитель числа $n$ имеет вид $p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\ldots p_k^{\beta_k}$, где $0\le\beta_i\le\alpha_i$. Следовательно, всего различных делителей столько же, сколько существует упорядоченных наборов $(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_k)$ при $0\le\beta_i\le\alpha_i$, т. е.
$$
d(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\ldots(\alpha_k+1).
$$
В нашем случае $d(n)=30=2\cdot3\cdot5$. Поэтому в выражении для $n$ должно быть не больше трёх сомножителей. А так как к тому же число $n$ должно делиться на 30, его разложение на простые множители должно иметь вид $n=2^{\alpha_1}\cdot3^{\alpha_2}\cdot5^{\alpha_3}$, причём
$(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)(\alpha_3+1)=30$.
Последнему соотношению удовлетворяют тройки чисел $(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=(1,2,4)$, $(1,4,2)$, $(2,1,4)$, $(2,4,1)$, $(4,1,2)$, $(4,2,1)$, и только они.
