Задача М730‍‍‍

Последовательность $(a_n)$‍‍ определяется условиями $$ a_1=0,\quad a_{2n+1}=a_{2n}=n-a_n. $$ (Например, $a_{10}=5-a_5=5-a_4=5-(2-a_2)=3+(1-a_1)=4$‍.)‍

1. Выпишите первые 20 членов последовательности и найдите $a_{1982}$‍.‍
2. Докажите, что каждое натуральное число входит в последовательность 2 или 4 раза. Сколько раз в ней встретится число $2^k$‍‍ (при каждом $k=1$‍,‍ 2, 3, $\ldots$‍)?‍
3. Докажите, что разность $a_n-a_{n-1}$‍‍ равна 1, если в разложение числа $n$‍‍ на простые множители число 2 входит в нечётной степени, и 0 – в противном случае.
4. Докажите, что $a_n=\dfrac n3$‍‍ для бесконечного множества значений $n$‍.‍
5. Найдётся ли $n$‍‍ такое, что разность $\left|a_n-\dfrac n3\right|$‍‍ больше 1982?
6. Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}n=\dfrac13$‍.‍