Задача М726‍‍

Так как в правильном многоугольнике длины всех сторон равны, достаточно доказать, что сумма длин высот красных треугольников равна сумме длин высот голубых треугольников (см. рисунки).

Если $n$‍‍ чётно, то к противоположным сторонам $2n$‍‍-угольника примыкают треугольники одного цвета, поэтому сумма длин высот таких треугольников равна расстоянию между этими сторонами (рис. 1). Разбивая треугольники на пары, прилегающие к противоположным сторонам, сразу получаем утверждение задачи.

При нечётном $n$‍,‍ продолжив «красные» стороны $2n$‍‍-угольника, получим правильный $n$‍‍-угольник (рис. 2). Построенный таким же образом голубой $n$‍‍-угольник конгруэнтен красному. Площадь голубого $n$‍‍-угольника равна сумме длин высот голубых треугольников, умноженной на половину длины его стороны. То же верно и для красного $n$‍‍-угольника. Отсюда вытекают равенство сумм длин высот голубых и красных треугольников и вместе с этим утверждение задачи.