По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлениям. Докажите, что, как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.
Пусть в начальный момент черепахи находились в точках $A_1$, $\ldots$, $A_n$, расположенных в круге радиуса $R$ с центром в точке $O$. Отложим от точки $O$ векторы скоростей черепах $\overrightarrow{v_1}$, $\ldots$, $\overrightarrow{v_n}$. Ясно, что концы $V_1$, $\ldots$, $V_n$ этих векторов являются вершинами некоторого выпуклого $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $v$, равного величине скорости любой черепахи. Построим круги радиуса $\eps$ с центрами в точках $V_1$, $\ldots$, $V_n$. При достаточно малом $\eps$ любой многоугольник $B_1B_2\ldots B_n$, вершины которого принадлежат этим кругам, очевидно, тоже будет выпуклым. (В качестве $\eps$ можно взять, например, половину наименьшего из расстояний от точек $V_i$ до прямых, соединяющих соседние с $V_i$ вершины, — см. рисунок.)
Пусть через время $T$ черепахи оказались в точках $A'_1$, $\ldots$, $A'_n$, и пусть при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $\dfrac1T$ эти точки переходят в точки $B_1$, $\ldots$, $B_n$. Докажем, что при достаточно большом $T$ точки $B_1$, $\ldots$, $B_n$ попадают в построенные нами круги, то есть, что $|V_iB_i|\lt\eps$ при $i=1$, $\ldots$, $n$. Вектор $\overrightarrow{A_iA'_i}$, на который переместилась $i$-я черепаха за время $T$, равен $T\overrightarrow{v_i}$. Поэтому $\overrightarrow{OA'_i}=\overrightarrow{OA_i}+T\overrightarrow{v_i}$, а $\overrightarrow{OB_i}=\dfrac1T\overrightarrow{OA'_i}=\overrightarrow{v_i}+\dfrac1T\overrightarrow{OA_i}=\overrightarrow{OV_i}+\dfrac1T\overrightarrow{OA_i}$. Следовательно, $|V_iB_i|=\dfrac1T|OA_i|\le\dfrac RT$. Значит, при $T\gt\dfrac R\eps$ точки $B_i$ попадут в круги радиуса $\eps$ с центрами $V_1$, $\ldots$, $V_n$, многоугольник $B_1\ldots B_n$ будет выпуклым, а потому и точки $A'_1$, $\ldots$, $A'_n$, в которых оказались черепахи через время $T$, служат вершинами выпуклого многоугольника.
