Пусть числа 1 и $n$ стоят в точках $A_i$ и $A_j$ соответственно. Будем вычислять разности соседних чисел, пользуясь рисунком: число, стоящее в начале каждой стрелки, вычитается из числа, стоящего в её конце.
а) Очевидно, сумма разностей соседних чисел, стоящих на каждой из двух дуг с концами $A_i$ и $A_j$, равна $n-1$. Поскольку сумма модулей нескольких чисел не меньше модуля суммы этих чисел, сумма модулей всех разностей не меньше $2|n-1|=2n-2$. Заметим, что равенство возможно лишь в случае, когда все разности положительны.
б) Ответ: для $n\cdot2^{n-2}$ расстановок. Пусть сумма модулей разностей соседних чисел равна $2n-2$. Мы уже видели, что для этого необходимо и достаточно, чтобы все разности были положительны. Иначе говоря, на каждой из дуг от $A_i$ до $A_j$ числа должны возрастать в направлении, указанном на рисунке стрелками, от 1 до $n$. Любая такая расстановка полностью определяется заданием точки $A_i$, в которую ставят единицу, и набора чисел, стоящих на левой дуге между 1 и $n$ (остальные числа однозначно расставляются на правой дуге). Точку $A_i$ можно выбрать $n$ способами. Набор чисел на левой дуге — это произвольное подмножество (возможно, пустое) множества $\{2,3,\ldots,n-1\}$ из $n-2$ элементов. Его можно выбрать $2^{n-2}$ способами. Поэтому общее число расстановок, удовлетворяющих условию задачи, равно $n\cdot2^{n-2}$.
