Из рисунка 1 видно, что площадь $S$, нового четырёхугольника $MNPQ$ ($M$, $N$, $P$ и $Q$ — центры квадратов, построенных на сторонах данного четырёхугольника $ABCD$) равна сумме площадей четырёх заштрихованных розовых четырёхугольников (с вершинами, соответственно, в центрах двух соседних квадратов и серединах двух соседних сторон исходного четырёхугольника) и голубого параллелограмма (с вершинами в серединах сторон данного четырёхугольника). Найдём, чему равна площадь одного такого розового четырёхугольника — например, четырёхугольника $EMNF$ (см. рис. 1).
Обозначим через $\phi$ угол при вершине $B$ исходного четырёхугольника. Заметим, что $$S_{EMNF}=S_{EBF}+S_{EMB}+S_{FNB}\pm S_{MBN},$$
причём знак «$+$» берётся, если $\dfrac{3\pi}{2}-\phi\lt\pi$ (рис. 2), т. е. $\dfrac{\pi}{2}\lt\phi\lt\pi$, и знак «$-$», если $0\lt\phi\le\dfrac{\pi}{2}$ (рис. 3). Подсчитав алгебраическую сумму последних трёх слагаемых, найдём
$$\begin{gather*}
S_{EMNF}=S_{EBF}+\dfrac{|AB|^2}{8}+\dfrac{|BC|^2}{8}+\dfrac{|AB|\cdot|BC|}{4}\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}-\phi\right)=\\
=S_{EBF}+\dfrac{1}{8}(|AB|^2-2|AB|\cdot|BC|\cos\phi+|BC|^2)=\\
=S_{EBF}+\dfrac{|AC|^2}{8}
\end{gather*}$$
(мы воспользовались теоремой косинусов для треугольника $ABC$).
Проведя аналогичные вычисления для остальных розовых четырёхугольников, окончательно получим, что $$S_1=S+\dfrac14(|AC|^2+|BD|^2).$$
Но $S=\dfrac12|AC|\cdot|BD|\sin\alpha$ ($\alpha$ — угол между диагоналями $AC$ и $BD$), так что $\dfrac14(|AC|^2+|BD|^2)\ge\dfrac12|AC|\cdot|BD|\ge S$ и $S_1\ge2S$, — мы решили задачу a).
Поскольку последние неравенства превращаются в равенства в том и только в том случае, когда $|AC|=|BD|$ и $\sin\alpha=1$, т. е. $(AC)\perp(BD)$, мы попутно получаем утверждение б).
Рисунки номер 1-3
