Люда, Марина и Наташа нарисовали остроугольный треугольник $LMN$. Затем Люда построила свой треугольник, у которого длины двух сторон равны $|LM|$ и $|LN|$, а угол между ними на $60^\circ$ больше угла $L$ треугольника $LMN$. Точно так же Марина построила свой треугольник со сторонами длины $|ML|$ и $|MN|$, угол между которыми на $60^\circ$ больше $\angle M$, а Наташа — свой, у которого угол между сторонами $|NL|$ и $|NM|$ равен $\angle N + 60^\circ$. Докажите, что третьи (новые) стороны треугольников у всех трёх девочек одинаковы.
Первое решение. Пусть $O$ — точка внутри треугольника $LMN$, из которой каждая его сторона видна под углом $120^\circ$ (рис. 1; такая точка существует и единственна).
Повернём треугольник $LMN$ вокруг точки $L$ на $60^\circ$ по часовой стрелке (рис. 2). Пусть при этом повороте точка $O$ перейдёт в $O'$, а точка $N$ — в $N'$.
Рис. 1Рис. 2
Поскольку треугольники $LON$ и $LO'N'$ конгруэнтны, a треугольник $LOO'$ — правильный, $\widehat{MOL}+\widehat{LOO'}=\widehat{OO'L}+\widehat{LO'N'}=60^\circ+120^\circ=180^\circ$; поэтому точки $M$, $O$, $O'$ и $N'$ лежат на одной прямой. Таким образом, $$
|MN'|=|MO|+|OO'|+|O'N'|=|MO|+|OL|+|ON|=S.
$$
Аналогично доказывается, что третьи стороны треугольников, построенных Наташей и Мариной, также равны $S$.
Второе решение. Пусть $l$, $m$, $n$ — длины сторон треугольника $LMN$ (см. рис. 1) и $\Delta$ — разность квадратов третьих сторон треугольников, построенных Людой и Мариной. Ясно, что $$
\begin{gather*}
\Delta=m^2+n^2-2mn\cos(\widehat L+60^\circ)-(l^2+n^2)+2ln\cos(\widehat M+60^\circ)=\\
=m^2-l^2+2n(l\cos(\widehat M+60^\circ)-m\cos(\widehat L+60^\circ))=\\
=m^2-l^2+n(l\cos\widehat M-m\cos\widehat L+\sqrt{3}(m\sin\widehat L-l\sin\widehat M))=\\
=m^2-l^2+n(l\cos\widehat M-m\cos\widehat L),
\end{gather*}
$$
поскольку по теореме синусов $l\sin\widehat M-m\sin\widehat L=0$.
А так как $\cos\widehat L=\dfrac{m^2+n^2-l^2}{2mn}$, $\cos\widehat M=\dfrac{l^2+n^2-m^2}{2ln}$, без труда получаем, что $\Delta=0$.
