Полукруг с диаметром $AB$ разрезан отрезком $CD$, перпендикулярным $AB$, на два криволинейных треугольника $ACD$ и $BCD$, в которые вписаны окружности, касающиеся $AB$ в точках $E$ и $F$ (рис. 1). Докажите, что
$|AD|=|AF|$,
$[DF]$ — биссектриса угла $BDC$,
величина угла $EDF$ не зависит от выбора точки $C$ на $AB$.
а) Пусть $O$ — центр данного полукруга. Будем считать, что $|AO|=1$. Пусть, для определённости, точка $C$ лежит между точками $B$ и $O$ и $|OC|=a$ (см. рисунок).
Применяя теорему Пифагора к треугольникам $ADC$ и $ODC$, получаем $|AD|^2-|AC|^2=|OD|^2-|OC|^2$, т. е. $|AD|^2=|AC|^2+|OD|^2-|OC|^2$, или $|AD|^2=(1+a)^2+1-a^2=2+2a$.
Пусть $O_1$ — центр окружности, вписанной в криволинейный треугольник $BDC$, $r$ — её радиус. Из прямоугольного треугольника $OO_1F$ находим $(1-r)^2=r^2+(a+r)^2$, или $(a+r)^2+2r=1$. Поскольку $|AF|^2=(1+a+r)^2=1+2a+2r+(a+r)^2=2+2a$, получаем $|AF|=|AD|$. (Аналогично доказывается $|BD|=|BE|$.)
б) Треугольник $ADF$ — равнобедренный, так что $\widehat{AFD}=\widehat{ADF}$. Далее, $\widehat{AFD}=\widehat{BDF}+\widehat{DBF}$, $\widehat{ADF}=\widehat{ADC}+\widehat{CDF}$ и $\widehat{ADC}=\widehat{DBF}$, поэтому $\widehat{CDF}=\widehat{BDF}$.
в) Из решения пункта б) следует, что $\widehat{EDF}=\widehat{EDC}+\widehat{CDF}=\dfrac12\widehat{ADB}=\dfrac\pi4$.
