Можно ли таблицу $10 \times 10$ клеток заполнить 100 различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата $k \times k$ клеток ($2 \le k \le 10$)
а) Ответ: можно. Назовём таблицу подходящей, если для любого квадрата $k\times k$
клеток ($2\le k\le10$) суммы $k$ чисел на его диагоналях одинаковы.
Примером подходящей таблицы является таблица 1 (убедитесь в этом). Заметим теперь, что, если ко всем
числам какой-либо строки подходящей таблицы прибавить одно и то же число, таблица останется подходящей.
В самом деле, если квадрат $k\times k$ не пересекается с изменённой строкой, то суммы чисел на его диагоналях не меняются. В противном случае обе диагонали этого квадрата пересекаются с изменённой строкой
ровно по одной клетке, и суммы чисел, стоящих на его диагоналях, остаются равными.
Теперь легко построить таблицу, удовлетворяющую условию задачи. Для этого достаточно к строкам таблицы 1 добавить некоторые числа так, чтобы в результате все числа таблицы оказались различными. Например, первую
строку оставляем неизменной, ко второй добавляем 10, к третьей 20, и т. д. Полученная таблица 2 удовлетворяет условию.
б) Решается аналогично пункту а) (нужно только все числа $a$, стоящие в клетках таблиц 1, 2, заменить на числа $2^a$).
