Обозначим сумму цифр числа $A$ через $S(A)$. Числа $A$ и $S(A)$ имеют одинаковый остаток при делении на 9. Поэтому число $S(1981^n)$ при делении на 9 даёт в остатке 1, т. е. является одним из чисел 1, 10, 19, 28, $\ldots$
Поскольку число $1981^n$ кончается на 1 и не равно 1, $S(1981^n)\ne1$.
Предположим, что $S(1981^n)=10$. Поскольку 1981 кончается на 1, $S(1981^n-1)=9$. Значит сумма $S_1$ его цифр, стоящих на нечётных местах заключена между 0 и 9; аналогично для суммы $S_2$ его цифр, стоящих на чётных местах. Поскольку $1981^n-1$ делится на 11, $S_1$ и $S_2$ имеют одинаковый остаток при делении на 11. (Здесь мы используем известный признак делимости на 11: чтобы число $A$ делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммами цифр, стоящих на чётных и на нечётных местах, делилась на 11. Его нетрудно доказать, используя тот факт, что $10^{2m}-1$ при любом $m$ делится на $10^2-1=99$ и, стало быть, на 11.) Но $0\le S_1\le9$ и $0\le S_2\le9$. Значит $S_1=S_2$ — противоречие с $S_1+S_2=9$.
Следовательно, $S(1981^n)\ge19$.
