Пусть $A_0$, $B_0$, $C_0$ — середины сторон треугольника $ABC$, $O$ — центр описанной около него окружности (см. рисунок). Треугольник $A_0B_0C_0$ подобен треугольнику $ABC$, а точка $O$ является точкой пересечения его высот. Рассмотрим преобразование подобия $F=H_O^k \cdot R_O^{\phi}$(композицию гомотетии $H_O^k$ с центром $O$ и коэффициентом $k$ и поворота $R_O^{\phi}$ на угол $\phi$ вокруг $O$), где $k=\dfrac1{\cos \phi}$. При этом точки $F(A_0)$, $F(B_0)$ и $F(C_0)$ будут принадлежать прямым $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Таким образом, при изменении $\phi$ мы получаем целое семейство треугольников с общим ортоцентром (точкой пересечения высот), вписанных в треугольник $ABC$ и ему подобных. Осталось показать, что треугольник $A_1B_1C_1$ принадлежит этому семейству.
Выберем $\phi = \widehat{B_0OB_1}$ так, что $F(B_0)=B_1$; пусть $F(A_0)=A_2$, $F(C_0)=C_2$. Точка $O$ служит точкой пересечения высот треугольников $A_1B_1C_1$ и $F(\triangle A_0B_0C_0)=\triangle A_2B_1C_2$; значит, сторона $A_2C_2$ должна быть параллельна стороне $A_1C_1$ или совпадать с ней. Но ясно, что высоты треугольника $A_2B_1C_2$ опущенные из вершин $A_2$ и $C_2$ не могут пройти через $O$, за исключением того случая, когда $A_2=A_1$ и $C_2=C_1$, так что на самом деле треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_1C_2$ совпадают.
Рисунок
В заключение заметим, что в нашем решении остроугольность треугольника $ABC$ не использовалась: утверждение задачи верно для любого треугольника $ABC$ (и любых точек $A_1$, $B_1$, $C_1$ на прямых $BC$, $AC$, $AB$).
