Поместим начала всех векторов в одну точку и построим сферу радиуса 1 с центром в этой точке. Возьмём точки пересечения наших векторов (или их продолжений) с построенной сферой и окружим каждую из них шапочкой «диаметром» $45^\circ$ (рис. 1) или, что по существу то же самое, сами векторы — конусами с раствором $45^\circ$ (и образующей 1). Утверждение задачи будет доказано, если мы покажем, что какие-то две из этих «окрестностей»: шапочки или конусы — пересекаются. А для этого сравним суммарную площадь поверхностей шапочек (или суммарный объём конусов) с площадью поверхности сферы (соответственно, с объёмом шара).
Рис. 1Рис. 2
Площадь поверхности шапочки (см. рисунок 1; $H=R(1-\cos\phi)$ — высота шапочки) равна $2\pi RH=2\pi\left(1-\cos\dfrac\pi8\right)=2\pi\left(1-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\right)$ (мы воспользовались формулой для косинуса половинного угла). Наша цель — доказать, что $30\cdot2\pi\left(1-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}\right)\gt4\pi$, т. е., что $\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\lt\dfrac4{15}$. Произведя несколько несложных преобразований (два из которых — возведение в квадрат), придём к верному равносильному неравенству $\dfrac12\lt\left(\dfrac{167}{225}\right)^2$. Из этого следует, что среди шапочек найдутся две пересекающиеся; угол между соответствующими им векторами будет меньше $45^\circ$.
Если сравнивать объёмы (рис. 2), нужно доказать, что объём каждого конуса больше $\dfrac4{90}\pi$. Предлагаем вам убедиться в этом самостоятельно.
