На сфере построен треугольник, одна «сторона» которого имеет величину $120^\circ$. Докажите, что «медиана», опущенная на эту «сторону», делится каждой из двух других «медиан» на две равные части. («Медианы» и «стороны» — дуги больших окружностей.)
Соединим вершины сферического треугольника $ABC$ с центром сферы $S$ (см. рисунок). В образовавшемся трёхгранном угле с вершиной $S$ плоские углы $ASC$, $BSA$ и $CSB$ служат мерой «сторон», a двугранные углы $SA$, $SB$ и $SC$ — мерой углов сферического треугольника $ABC$. Таким образом, все свойства сферического треугольника $ABC$ и трёхгранного угла $S$ эквивалентны.
Проведём через каждое ребро трёхгранного угла плоскость, проходящую через биссектрису противоположного этому ребру плоского угла. Линии пересечения этих трёх плоскостей со сферой будут содержать «медианы» $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ сферического треугольника $ABC$. Остальные обозначения ясны из рисунка.
Предположим, что величина «стороны» $AB$ равна $120^\circ$, или, что то же самое, $\widehat{ASB}=120^\circ$. Тогда $\widehat{C_1SB}=60^\circ$. Из прямоугольного треугольника $C_1SB$
$$
|SC_1|=\dfrac12|SB|=\dfrac12|SC|,
$$
откуда $\dfrac{|SC|}{|SC_1|}=2$.
С другой стороны, $|CM_1|=2|M_1C_1|$ (отрезки $CC_1$, $BB_1$, и $AA_1$ — медианы плоского треугольника $ABC$); следовательно, $\dfrac{|CM_1|}{|M_1C_1|}=2$, откуда $\dfrac{|SC|}{|SC_1|}=\dfrac{|CM_1|}{|M_1C_1|}$. Таким образом, отрезок $SM_1$ — биссектриса угла $CSC_1$, откуда $\uduga{CM'}\cong\uduga{M'C'}$.
