Для заданного натурального числа $k$ обозначим через $l_k$ количество решений уравнения $u^3+v^2=k$ в натуральных числах, не превосходящих $10^6$. Тогда количество рассматриваемых решений уравнения $x^3+y^2=z^3+t^2$ равно
$$
l_2^2+l_3^2+l_4^2+\ldots+l_r^2=\textstyle\sum\limits_{k=2}^rl_k^2
$$
где $r$ — наибольшее из $k$, для которых $l_k\ne0$ (ясно, что начиная с некоторого достаточно большого $k$ наши уравнения не будут иметь решений в натуральных числах, не превосходящих $10^6$). Количество же рассматриваемых решений уравнения $x^3+y^2=z^3+t^2+1$ равно
$$
l_2l_3+l_3l_4+\ldots+l_{r-1}l_r=\textstyle\sum\limits_{k=3}^rl_{k-1}l_k
$$
Из неравенства
$$
l_2^2+(l_2-l_3)^2+(l_3-l_4)^2+\ldots+(l_{r-1}-l_r)^2+l_r^2\ge0,
$$
получаем
$$
\textstyle\sum\limits_{k=2}^rl_k^2\ge\sum\limits_{k=3}^rl_{k-1}l_k,
$$
откуда и следует утверждение задачи.
В связи с задачей М622 возникает следующий, по-видимому, очень трудный, вопрос:
Для каких натуральных $k$ существуют такие натуральные числа $n$ и $m$, что $n^3+m^2=k$?
