Задача М564‍‍

а) Покажем, что точку $M$‍‍ на стороне $BC$‍‍ можно выбрать произвольно.

Треугольники $MPQ$‍‍ и $APQ$‍‍ конгруэнтны ($|AP|=|MP|$‍,‍ $|AQ|=|MQ|$‍,‍ рис. 1). Докажем подобие треугольников $APQ$‍‍ и $ABC$‍.‍ Пусть $K$‍,‍ $L$‍,‍ $O$‍‍ — середины сторон $AB$‍,‍ $AC$‍‍ и $AM$‍‍ соответственно. Без ограничения общности можно считать, что $\widehat{AMB}\lt\dfrac\pi2$‍‍ (случай $AM\perp BC$‍‍ тривиален).

Вокруг каждого из четырёхугольников $AOLQ$‍‍ и $AKPO$‍‍ можно описать окружность ($\widehat{AOQ}=\widehat{ALQ}=\widehat{AOP}=\widehat{AKP}=\dfrac\pi2$‍‍ — см. рис. 1). Поэтому $\widehat{LAQ}=\widehat{LOQ}$‍‍ и $\widehat{POK}=\widehat{PAK}$‍.‍ Но $\widehat{LOQ}=\widehat{POK}$‍‍ — как вертикальные углы. Отсюда $\widehat{LAQ}=\widehat{PAK}$‍‍ и $\dfrac{|AL|}{|AQ|}=\dfrac{|AK|}{|AP|}.$‍‍ Поэтому композиция поворота на угол $\widehat{PAK}$‍‍ с центром в точке $A$‍‍ и гомотетии с коэффициентом $k=\dfrac{|AK|}{|AP|}$‍‍ с тем же центром $A$‍‍ переводит треугольник $APQ$‍‍ в подобный ему треугольник $AKL$‍.‍ Итак, $\triangle APQ\sim\triangle ABC$‍.‍

б) Гомотетия с коэффициентом $\dfrac32$‍‍ и центром в точке $M$‍‍ переводит $\triangle PQM$‍‍ в подобный ему $\triangle KLM$‍‍ (рис. 2). Допустим, что $\triangle KLM$‍‍ подобен $\triangle AKL$‍.‍ Разберём три случая:

1. $\alpha = \delta$‍‍ (см. рис. 2); тогда $(AL)\parallel(KM)$‍,‍ так что $|MB|=|MC|$‍,‍ т. е. $M$‍‍ — середина $BC$‍.‍
2. $\alpha=\gamma$‍;‍ тогда $(AM)\perp(KL)$‍,‍ так что $M$‍‍ — проекция вершины $A$‍‍ на сторону $BC$‍.‍
3. $\alpha=\widehat A$‍;‍ тогда либо $\beta=\gamma$‍‍ и $|MB|=|MC|$‍,‍ либо $\beta=\delta$‍‍ и $M$‍‍ — проекция вершины $A$‍‍ (на $[BC]$‍).‍

Нетрудно убедиться, что верно и обратное: если $M$‍‍ — середина стороны $BC$‍‍ или проекция на $BC$‍‍ вершины $A$‍,‍ то треугольники $MPQ$‍‍ и $ABC$‍‍ подобны.

в) В этом случае, как и в случае а), точку $M$‍‍ на стороне $BC$‍‍ можно выбрать произвольно. В самом деле (рис. 3), $\widehat{MPQ}=\widehat{ABC}$‍,‍ $\widehat{MQC}=\widehat{ACB}$‍‍ (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами); значит, $\triangle MPQ\sim\triangle ABC$‍.‍

К сожалению, при публикации условия этой задачи наборщик перепутал знаки подобия и конгруэнтности (он учился ещё по старой программе); мы приносим извинения читателям, которым эта опечатка помешала понять условие.