а) Если заслонка покрывает единичный квадрат $A_1$ при любом положении внутри квадрата $4\times 4$, то она покрывает и образы $A_1$ при симметриях относительно диагоналей и средних линий большого квадрата и при поворотах на $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$ относительно его центра — квадраты $A_2$, $A_3$, $\ldots$, $A_8$ на рисунке 3. Поскольку заслонка выпуклая, она покрывает при этом и треугольники $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$, и центральный квадрат $P$ со стороной длины 2 (рис. 3). Так как площадь заслонки не меньше суммарной площади покрываемых ею фигур, она не меньше 14. Очевидно, заслонка площади 14 в форме выпуклого восьмиугольника, составленного из перечисленных выше квадратов и треугольников (он выделен на рисунке 3), всегда покрывает квадрат $A_1$. Следовательно, она является искомой.
б) Допустим, что у нас есть выпуклая заслонка, при любом положении которой на дне ящика $n\times n$ дырка $A$ полностью закрыта.
Рассмотрим наименьший прямоугольник $\mathit\Pi$ со сторонами, параллельными сторонам квадрата, содержащий нашу заслонку. Пусть его размеры $(n-x)\times(n-y)$. Параллельно сдвигая $\mathit\Pi$ вместе с заслонкой, легко убедиться, что весь прямоугольник, получаемый переносом клетки $A$ на расстояние не более $x$ влево-вправо и $y$ — вверх-вниз, должен принадлежать заслонке; длины сторон этого прямоугольника $u=1+x$, $v=1+y$. Кроме того, на каждой стороне $\mathit\Pi$ должна быть точка заслонки; поэтому заслонка должна включать ещё по крайней мере четыре треугольника (рис. 4) общей площадью $(n-u-x)\dfrac{v}2+(n-v-y)\dfrac{u}2$. Итак, площадь заслонки не меньше:
$$
\begin{gather*}
uv+\dfrac{(n-u-x)v}{2}+\dfrac{(n-v-y)u}{2}=\\
=\dfrac{(n-x)(1+y)}{2}+\dfrac{(n-y)(1+x)}{2}=\\
=n+\dfrac{x(n-y-1)}{2}+\dfrac{y(n-x-1)}{2}\ge n
\end{gather*}
$$
(ведь, очевидно, $x$ и $y$ не превосходят даже $\dfrac{n-1}2$).
На рисунке 5 изображена фигура $M$, которая всегда покрывает центральный квадрат $A$. Площадь её, очевидно, равна $n$, т. е. минимально возможная. Таким образом, это — искомая заслонка.
Заметим, что в решении не использовалось, что сторона квадрата $n$ — целое число, важно лишь, что $n \gt 1$.
Было бы интересно решить эту задачу для других пар фигур: например, вполне правдоподобно, что если «дыра» и «дно ящика» — концентрические круги радиусов $r$ и $R$, то выпуклая заслонка наименьшей площади — наименьшая выпуклая фигура, содержащая меньший круг и диаметр большего круга (её площадь равна $2r\sqrt{R^2-r^2}+2r^2\arcsin \dfrac{r}{R}$).
Рисунок номер 3
Рисунок номер 4
Рисунок номер 5
