Утверждение задачи докажем методом «от противного». Допустим, что все данные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — составные. Сопоставим каждому из них его минимальный простой делитель: $a_i\rightarrow q_i$. Пусть $q=\max\limits_{1\le i\le n}\{q_i\}$. Тогда $q\ge p_n$, где $p_n$ — $n$-е простое число (поскольку числа $a_1$, $\ldots$, $a_n$, попарно взаимно просты).
Индукцией по $k$ легко доказывается неравенство $p_k\ge2k-1$. (Действительно, оно верно для $p_2=3$. Далее $p_{k+1}\ge p_k+2$ при $k\ge2$.) Тем самым $q\ge2n-1$. Следовательно, для того $a_j$, для которого $q_j=q$,
$$
a_j\ge q_j^2\ge(2n-1)^2
$$
— противоречие. Значит, среди данных чисел обязательно встретится простое.
