Дан треугольник $ABC$, причём $|BC|\lt|AC|\lt|AB|$. На лучах $BA$ и $CA$ отложены отрезки $BD$ и $CE$ такие, что $|BD|=|CE|=|BC|$. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $ADE$, равен расстоянию между центрами окружности, описанной около треугольника $ABC$, и окружности, вписанной в него.
Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, $O_1$ — центр окружности, описанной около треугольника $ADE$, $K$ — центр окружности, вписанной в $\triangle ABC$ (см. рис.). Нужно доказать, что $|KO|=|O_1A|$.
Рассмотрим окружность с центром в точке $K$ радиуса $|KO|$. Проведём хорды $[OM]\parallel[AC]$ и $[ON]\parallel[AB]$. Докажем, что треугольники $OMN$ и $ADE$ с конгруэнтными при вершинах $O$ и $A$ углами конгруэнтны.
Опустим из центров $O$ и $K$ перпендикуляры $OO'$ и $KK'$ на сторону $AB$ ($L=[ON]\cap[KK']$). Легко проверить, что $$\begin{gather*}
|AK'|=\dfrac{a+b+c}{2}-a=\dfrac{b+c-a}{2},\\
|O'K'|=|AK'|-|AO'|=\dfrac{b+c-a}{2}-\dfrac{c}{2}=\dfrac{b-a}{2},\\
|ON|=2|OL|=2|O'K'|=b-a=|AE|.
\end{gather*}$$
Аналогично доказывается, что $|OM|=|AD|$.
Таким образом, треугольники $OMN$ и $ADE$ конгруэнтны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому $|KO|=|O_1A|$.
