Задача М549‍‍

Дано натуральное число $N$‍.‍ Выпишем все его делители $d_1$‍,‍ $d_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $d_n$‍‍ и для каждого из них найдём, сколько делителей оно имеет. Докажите, что для полученных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $a_3$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ выполняется равенство $$ (a_1+a_2+\ldots+a_n)^2=a_1^3+a_2^3+\ldots+a_n^3. $$

Например, число $N=6$‍‍ имеет четыре делителя: $1$‍,‍ $2$‍,‍ $3$‍,‍ $6$‍;‍ здесь $a_1=1$‍,‍ $a_2=2$‍,‍ $a_3=2$‍,‍ $a_4=4$‍‍ и $$(1+2+2+4)^2=1^3+2^3+2^3+4^3.$$