Три прямые, параллельные сторонам треугольника $ABC$ и проходящие через одну точку, отсекают от $\triangle ABC$ трапеции. Три диагонали этих трапеций, не имеющие общих концов, делят треугольник на семь частей, из которых четыре — треугольники (рис. 1). Докажите, что сумма площадей трёх из этих треугольников, прилежащих к сторонам $\triangle ABC$, равна площади четвёртого.
Обозначим площади треугольников $AEK$, $BDM$ и $CFL$, прилегающих к сторонам $\triangle ABC$, через $S_1$, $S_2$ и $S_3$ (рис. 8), а площадь центрального треугольника $DEF$, образованного диагоналями трапеций, — через $S_0$. Тогда
$$
S_0=(S_{ABC}-S_{BLC}-S_{AMB}-S_{AKC})+S_1+S_2+S_3.
$$
Пусть $O$ — общая точка пересечения прямых, параллельных сторонам треугольника $ABC$. Ясно, что $$
S_{BLC}=S_{BOC},\quad S_{AMB}=S_{AOB},\quad S_{AKC}=S_{AOC}
$$
(треугольники с общими основаниями и конгруэнтными высотами). Но $S_{BOC}+S_{AOB}+S_{AOC}=S_{ABC}$; поэтому выражение, стоящее в скобках, равно нулю. Таким образом, мы получаем утверждение задачи:
$$
S_0=S_1+S_2+S_3.
$$
Рис. 8Рис. 9
Задачу М534 можно немного обобщить: не требовать, чтобы три прямые, о которых говорится в условии (параллельные сторонам треугольника $ABC$), проходили через одну точку. Пусть эти прямые образуют треугольник $A_1B_1C_1$ (рис. 9) и пусть $k$ — коэффициент гомотетии треугольников $A_1B_1C_1$ и $ABC$ $\left(|k|=\dfrac{|A_1C_1|}{|AC|}\right)$. Выполнив построение, описанное в задаче M534, получим треугольники $AEK$, $BDM$, $CFL$, прилегающие к сторонам $\triangle ABC$, и центральный треугольник $DEF$. Пусть, как и выше, их площади равны $S_1$, $S_2$, $S_3$ и $S_0$ соответственно. Докажите самостоятельно, что $$
S_0-kS_{ABC}=S_1+S_2+S_3.
$$
Подумайте, как можно сформулировать этот результат для случая любых гомотетичных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.
