Назовём выпуклый многоугольник особым, если некоторые три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что у каждого особого семиугольника найдётся вершина $A$, обладающая таким свойством: для любого $\eps\gt0$ вершину $A$ можно сдвинуть на расстояние меньшее $\eps$ (не меняя остальных вершин), так, что полученный семиугольник будет неособым.
Назовём диагональ выпуклого шестиугольникаглавной, если по обе стороны от прямой, на которой лежит эта диагональ, расположены по две вершины шестиугольника. Если $MP$ — побочная (не главная) диагональ выпуклого шестиугольника и $N$ — вершина, смежная с вершинами $M$ и $P$ (рис. 5), то во внутренних точках с диагональю $MP$ пересекаются лишь диагонали, выходящие из $N$. Поэтому никакие другие две диагонали не пересекаются с $[MP]$ в общей внутренней точке. Иначе говоря, единственной тройкой диагоналей выпуклого шестиугольника, которая может иметь общую точку внутри шестиугольника, является тройка его главных диагоналей.
Рис. 5
Пусть теперь $B_1B_2\ldots B_7$ — произвольный выпуклый семиугольник. Рассмотрим выпуклые шестиугольники $B_1\ldots B_5B_6$ и $B_1\ldots B_5B_7$ (рис. 6). Диагонали $[B_1B_4]$ и $[B_2B_5]$ являются в них главными. Обозначим через $P$ точку их пересечения. Хотя бы одна из прямых $B_3B_6$, $B_3B_7$ не проходит через точку $P$. Пусть для определённости, $P\notin [B_3B_7]$. Это означает, что в выпуклом шестиугольнике $B_1B_2\ldots B_6$ главные диагонали не пересекаются в одной точке. Итак, в любом выпуклом семиугольнике можно выбрать такие шесть вершин$B_1$, $\ldots$, $B_6$, что образованный ими выпуклый шестиугольник$B_1 \ldots B_6$ будет неособым. Выберем в нашем семиугольнике такой неособый шестиугольник $B_1\ldots B_6$; седьмую вершину семиугольника обозначим через $A$ и докажем, что она обладает требуемым свойством.
Рис. 6
Пусть $Q_1$, $\ldots$, $Q_{15}$ — точки, в которых пересекаются какие-либо две из диагоналей выбранного шестиугольника. (Их действительно пятнадцать: каждые четыре вершины шестиугольника определяют одну точку пересечения пары диагоналей и никакие три диагонали не пересекаются в одной точке, так что общее число точек пересечения $C_6^4=15$. На самом-то деле важно только то, что этих точек — конечное число.) Сдвинем теперь точку $A$ в такое положение $A'$ (рис. 7), чтобы было $|AA'|\lt\eps$ и в выпуклом семиугольнике $B_1B_2\ldots B_6A'$ диагонали $B_3A'$ и $B_4A'$ не проходили ни через одну из точек $Q_1$, $\ldots$, $Q_{15}$ (очевидно,
что это всегда можно сделать). В этом семиугольнике уже никакие три диагонали не будут пересекаться в одной внутренней точке, поскольку две добавляющиеся диагонали $B_2A'$ и $B_5A'$ в любом из шестиугольников, содержащих вершину $A'$, являясь побочными, не могут пересекаться в общей внутренней точке ни с какими двумя другими диагоналами нашего семиугольника. Таким образом, семиугольник $B_1B_2\ldots B_6A'$ — неособый.
Рис. 7
В заключение приведём задачу, решение которой (при $n\gt7$) автору неизвестно: найти наименьшее число$k=k(n)$, обладающее следующим свойством: в любом выпуклом $n$-угольнике можно так сдвинуть $k$ вершин (на сколь угодно малые расстояния), чтобы в получившемся после сдвига $n$-угольнике никакие три диагонали не пересекались в одной внутренней точке.
