Задача М489‍‍

Даны три числа $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍.‍ Построим три последовательности $(a_n)$‍,‍ $(b_n)$‍,‍ $(c_n)$‍,‍ у которых $a_1=a$‍,‍ $b_1=b$‍,‍ $c_1=c$‍‍ и $$ a_{n+1}=\dfrac{b_n+c_n}2,\quad b_{n+1}=\dfrac{c_n+a_n}2,\quad c_{n+1}=\dfrac{a_n+b_n}2 $$ для любого $n=1$‍,‍ 2, 3, $\ldots$‍‍ Докажите, что все эти три последовательности имеют общий предел, и найдите его.