Представлению нечётного числа $a$ в виде разности двух квадратов $a=x^2-y^2$ соответствует его разложение в произведение двух множителей $a=(x-y)(x+y)$. Это соответствие взаимно однозначно: по каждому разложению $a=rq$ (где $r \lt q$) из системы уравнений $x-y=r$, $x+y=q$ однозначно определяются $x=\dfrac{r+q}{2}$ и $y=\dfrac{q-r}{2}$ (поскольку $a$ нечётно, оба множителя $r$ и $q$ тоже нечётны). Выясним, сколькими способами можно разложить число $a=p_1\cdot p_2\cdot \ldots\cdot p_n$, где $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_n$ — различные простые множители, в произведение двух натуральных чисел: $a=rq$. Из $n$ множителей $p_1$, $\ldots$, $p_n$ можно $2^n$ способами выбрать некоторое (в частности, пустое) подмножество — произведение этих множителей даст $r$, а произведение остальных — $q$ (пустое подмножество соответствует единице). Таким образом, всех представлений $a=rq$ существует $2^n$, а таких, в которых $r \lt q$, — вдвое меньше: $2^{n-1}$.
