Вначале ответим на последний вопрос: если число участников олимпиады равно $(m-1)n$, то утверждение задачи неверно. Сказанное подтверждает такой пример: на олимпиаду приехали $m-1$ команд по $n$ участников в каждой, причём члены каждой команды знакомы друг с другом, а любые два участника из разных команд между собой не знакомы.
Докажем теперь утверждение задачи для $(m-1)n+1$ участников индукцией по числу $m$.
Для $m=2$ утверждение очевидно. Допустим, что оно верно для $m-1$ и докажем его для $m$. Выберем любого участника олимпиады. Он либо знаком не менее чем с $n$ другими участниками, и тогда ничего доказывать не нужно, либо знаком не более чем с $n-1$ участниками. В этом случае он незнаком не менее чем с $(m-1)n-(n-1)=(m-2)n+1$ участниками. По предположению индукции среди них либо найдутся $m-1$ участников, попарно не знакомых между собой — в этом случае они вместе с ранее выбранным образуют группу из $m$ участников, попарно не знакомых друг с другом; либо среди них найдётся участник, знакомый не менее чем с $n$ другими участниками олимпиады. Утверждение доказано.
