Задача М424‍‍

Пусть $S$‍‍ — одна из вершин тетраэдра, $SH$‍‍ — его высота, $O_1$‍‍ — центр окружности, описанной вокруг грани, противоположной вершине $S$‍.‍ Плоскость, проходящая через вершину $S$‍,‍ содержит высоту $SH$‍‍ и отрезок $SO_1$‍‍ (рис. 7). Проведём через точку $O_1$‍‍ прямую, параллельную $SH$‍;‍ очевидно, что она принадлежит нашей плоскости. С другой стороны, ясно, что эта прямая проходит через центр сферы, описанной вокруг тетраэдра, так что центр сферы принадлежит проведённой плоскости. Поэтому все четыре плоскости, содержащие центры описанных вокруг граней окружностей и соответствующие высоты тетраэдра, пересекаются в одной точке.