Задача М423‍‍‍

Если одна из скобок в левой части отрицательна, то неравенство очевидно. Легко понять, что одновременно две скобки левой части отрицательными быть не могут. Поэтому можно считать, что все скобки в левой части больше нуля.

Так как $x^2+z^2-y^2\gt 0$‍,‍ то $2(x-z)^2(x^2+z^2-y^2)\ge0$‍,‍ или $$ (x-z)^2(2x^2+2z^2-2y^2+2xz-2xz)\ge 0. $$ Значит, $$ (x-z)^2((x+z)^2+(x-z)^2-2y^2)\ge0,$$ т. е. $$ (x-z)^2(x+z)^2+(x-z)^4-2y^2(x-z)^2\ge0. $$ Перепишем последнее неравенство так: $$ y^4-(x^2-z^2)^2\le (y^2-(x-z)^2)^2, $$ или $$ (y^2+z^2-x^2)(x^2+y^2-z^2)\le(y+z-x)^2(x+y-z)^2.\tag1 $$ Аналогично из неравенства $x^2+y^2-z^2\gt0$‍‍ следует, что $$ (x^2+z^2-y^2)(y^2+z^2-x^2)\le(x+z-y)^2(y+z-x)^2,\tag2 $$ а из неравенства $y^2+z^2-x^2\gt0$‍,‍ — что $$ (x^2+z^2-y^2)(x^2+y^2-z^2)\le(x+z-y)^2(x+y-z)^2.\tag3 $$

Перемножая неравенства (1)—(3) и извлекая затем квадратный корень из обеих частей, получаем требуемое неравенство.