Примем длину меньшей стороны исходного (маленького) прямоугольника за единицу, а длину его большей стороны обозначим через $a$ ($a\gt1$). Пусть $A$ — длина большей стороны «составного» прямоугольника, а $B$ — длина его меньшей стороны. Поскольку большой прямоугольник составлен из маленьких, длины сторон которых равны 1 и $a$, найдутся такие натуральные числа $x$, $y$, $z$ и $t$, что $A=x+ay$, $B=z+at$. При этом площадь большого прямоугольника в 30 раз больше площади маленького. Значит, большой прямоугольник $A\times B$ подобен маленькому $a\times1$ с коэффициентом $\sqrt{30}$. Поэтому
$$\left\{\begin{array}{l}
x+ay=\sqrt{30}a,\\
z+at=\sqrt{30}.
\end{array}\right.$$
Отсюда
$$\begin{gather*}
a=\dfrac x{\sqrt{30}-y}=\dfrac{\sqrt{30}-z}t,\\
yz+30-xt=(y+z)\sqrt{30}.\tag{*}
\end{gather*}$$
Поскольку $\sqrt{30}$ — число иррациональное, последнее равенство возможно только, если $y=-z$. В свою очередь равенство $y=-z$ возможно только при $y=z=0$ (ведь $y$ и $z$ — также натуральные числа!). Таким образом, $A=x\cdot 1$, $B=t\cdot a$.
Это означает, что из тридцати маленьких прямоугольников можно сложить подобный им большой, располагая эти прямоугольники только так, как показано на рисунке 7: исходные прямоугольники лежат как бы поперёк большого — из меньших сторон составляется большая.
Подставляя $y=z=0$ в соотношение (*), получаем $xt=30$, так что $x$ и $t$ — какие-то делители числа 30. И, наконец, искомое отношение $a=\dfrac{\sqrt{30}}t$, где $t$ — некоторый делитель 30: $t=1$, 2, 3, 5.
