Окружность радиуса $R$ разделена точками $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ на четыре равные дуги. Докажите, что сумма четвёртых степеней расстояний от произвольной точки окружности $M$ до точек $A_k$, не зависит от положения точки $M$, причём
$$
|A_1M|^4+|A_2M|^4+|A_3M|^4+|A_4M|^4=24 R^4.
$$
Обозначим через $\phi$ угол между радиусами $OA_1$ и $OM$ (рис. 6). Тогда по теореме косинусов находим
$$\begin{align*}
|A_1M|^2&=2R^2-2R^2\cos\phi,\\
|A_2M|^2&=2R^2-2R^2\cos\left(\dfrac\pi2-\phi\right),\\
|A_3M|^2&=2R^2-2R^2\cos{}(\pi-\phi),\\
|A_4M|^2&=2R^2-2R^2\cos\left(\dfrac\pi2+\phi\right).
\end{align*}$$
Возводя обе части каждого равенства в квадрат и складывая новые равенства, получаем:
$$\begin{gather*}
|A_1M|^4+|A_2M|^4+|A_3M|^4+|A_4M|^4=\\
=4R^4[(1-2\cos\phi+\cos^2\phi)+(1-2\sin\phi+\sin^2\phi)+{}\\
{}+(1+2\cos\phi+\cos^2\phi)+(1+2\sin\phi+\sin^2\phi)]=24R^4,
\end{gather*}$$
что и требовалось.
Аналогично можно доказать, что если окружность радиуса $R$ разделена на шесть равных дуг, то сумма шестых степеней расстояний от произвольной точки окружности до точек деления не зависит от положения этой точки и равна $120R^6$.
