Внутри остроугольного треугольника $ABC$ дана точка $P$ такая, что $\widehat{APB}=\widehat{ABC}+60^\circ$, $\widehat{BPC}=\widehat{BAC}+60^\circ$, $\widehat{CPA}=\widehat{CBA}+60^\circ$. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков $AP$, $BP$, $CP$ (за точку $P$) с окружностью, описанной вокруг $\triangle ABC$, лежат в вершинах равностороннего треугольника.
Обозначим точки пересечения продолжений отрезков $AP$ $BP$ и $CP$ с окружностью, описанной вокруг треугольника $ABC$, через $A'$, $B'$ и $C'$ соответственно (см. рис. 5). Величина угла с вершиной внутри круга равна полусумме угловых величин двух дуг, из которых одна заключена между сторонами этого угла, а другая — между продолжениями сторон; а величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Поэтому
$$
\widehat{APC}=\dfrac12(\uduga{AB'C}+\uduga{A'BC'})=\widehat{ABC}+\widehat{A'B'C'};
$$
но по условию $\widehat{APC}=\widehat{ABC}+60^\circ$, откуда $\widehat{A'B'C'}=60^\circ$.
Аналогично доказывается, что и $\widehat{A'C'B'}=\widehat{C'A'B'}=60^\circ$.
