Задача решается очень легко, если число $A$, делящееся на $10\,101\,010\,101$, имеет не более 12 цифр; тогда оно обязательно
имеет вид абабабабабаб, и задача решена.
Остаётся придумать какой-нибудь способ свести задачу к этому случаю.
Число $10\,101\,010\,101$ мы обозначим через $M$. Докажем, что если число
$A$ делится на $M$, то найдётся двенадцати- (или менее) значное число $C$,
также делящееся на $M$ и имеющее не больше ненулевых цифр, чем $A$.
Лемма. Если $A$ делится на $M$ и имеет больше 12 цифр
(считая нули), то найдётся число $B$, также делящееся на $M$, меньшее чем $A$ и имеющее не больше ненулевых цифр, чем $A$.
Докажем это. Пусть $A=\overline{a_1a_2a_3\ldots a_n}$; вычеркнем его первую
цифру $a_1$, и прибавим её же на 12 разрядов ниже, например:
$$
\colsep{2pt}{
\begin{array}{ccc}
123\,456\,789\,123\,456&\to&23\,456\,789\,123\,456\\
&+&\hphantom{23\,456\,789\,123\,}1\hphantom{56}\\
&&\overline{23\,456\,789\,123\,556}
\end{array}}
$$
Полученное число будет, безусловно, меньше исходного: легко проверить, что мы просто вычли из числа $A$ число $a_1\cdot(10^{n-1}-10^{n-13})$. В скобках
стоит произведение $10^{n-13}\cdot(10^{12}-1)$; второй сомножитель, очевидно,
делится на $A$ (это число из 12 девяток), так что разность делится на $A$. Остаётся заметить, что в получившемся числе значащих (не нулевых) цифр
не больше, чем в исходном. В нашем примере их количество даже уменьшилось на единицу; этого могло, впрочем, не случиться, если бы на 13-м месте стоял 0 или если бы там стояла достаточно большая цифра, а на предыдущем месте 0,
как в примере
$$
\colsep{2pt}{
\begin{array}{ccc}
888\,888\,888\,880\,421&\to&88\,888\,888\,880\,421\\
&+&\hphantom{88\,888\,888\,880\,}8\hphantom{21}\\
&&\overline{88\,888\,888\,881\,221}
\end{array}}
$$
(мы не рассмотрели ещё случай, когда перенос происходит и в 12-м разряде, но легко видеть, что тогда число значащих цифр даже уменьшится). Лемма
доказана.
Теперь если $A$ делится на $M$, вычтем из $A$ его первую цифру,
умноженную на $10^{n-13}\cdot(10^{12}-1)$. С полученным числом проделаем тy же операцию и будем поступать так до тех пор, пока не доберёмся до 12-значного числа. Так как в нём не меньше шести значащих цифр, то и в $A$
не меньше шести значащих цифр.
Большинство решавших пытались рассматривать частное от деления $A$ на $M$, но решить её этим способом очень трудно, поскольку при обратном умножении этого частного на $10\,101\,010\,101$ его цифры
«склеиваются» друг с другом, может произойти много переносов единиц в разрядах, и разобраться в том, что получится, почти невозможно. Идея решения — в том, чтобы рассматривать эти переносы по одному.
