Во всех клетках таблицы $100\times 100$ стоят плюсы.
Разрешается одновременно изменить знаки во всех клетках одной строки или одного столбца.
Можно ли, проделав такие операции несколько раз, получить таблицу, где ровно 1970 минусов?
Пусть в $i$-й строке мы изменили знак $x_i$ раз, в $k$-м столбце — $y_k$
раз. Тогда в клетке, стоящей на пересечении $i$-й строки и $k$-го столбца,
знак изменится $x_i+y_k$ раз. Следовательно, в этой клетке будет стоять
минус в том и только в том случае, когда $x_i+y_k$ нечётно, Таким образом,
общее количество минусов в полученной таблице зависит только от чётности
чисел $x_i$ и $y_k$; на рисунке 1 вместо чётных чисел поставлены нули,
вместо нечётных — единицы. Пусть $x$ — число нечётных чисел среди $x_i$; $y$ — число нечётных чиеел среди $y_k$ (на рисунке $x=5$, $y=4$). Тогда, как нетрудно посчитать, общее число минусов в таблице будет равно
$$
x(100-y)+(100-x)y=100x+100y-2xy,
$$
где $x$, $y$ — целые.
Теперь вернёмся к нашей задаче и докажем, что ответ в ней отрицательный,
т. е. 1970 минусов получить невозможно. Предположим, что нам удалось
получить ровно 1970 минусов. Тогда $1970=100x+100y-2xy$, откуда
$$
xy-50x-50y+2500=1515.
$$
Разложив левую часть на множители, получаем
$$
(x-50)(y-50)=1515=15\cdot101.
$$
Имеем
$$
-50\le x-50\le50,\quad-50\le y-50\le50.
$$
Поскольку число 101 простое, то либо $x-50$, либо $y-50$ должно делиться
на 101 (ведь их произведение делится на 101). Но из предыдущих неравенств
тогда следует, что либо $x-50$, либо $y-50$ равно 0. Итак, мы получили
противоречие, которое доказывает, что ровно 1970 минусов получить
невозможно.
