$n$ одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку (см. рисунок).
Сколько оборотов сделает монета $M$ такого же размера за то время,
пока она один раз обкатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке
(монета $M = 2~\text{коп.}$)? Как изменится ответ, если монета $M$ будет иметь радиус,
отличающийся в $k$ раз от радиуса каждой из монет в цепочке?
Примем радиус монет, составляющих цепочку, за единицу. Из рисунка 3 видно, что за то время, пока монета радиуса $k$ прокатится по дуге $\alpha$
неподвижной окружнссти радиуса 1, она повернётся на угол
$\alpha\left(1+\dfrac1k\right)$: на этом рисунке радиусы $MA$ и $M'A''$
параллельны, $\angle A''M'B=\angle AOB=\alpha$ и, поскольку дуги
$\overgroup{A'B}$ и $\overgroup{AB}$ равны по длине, $\angle
BMA'=\dfrac\alpha k$, следовательно, весь угол $\angle A''MA'$, на который
повернулась монета $M$, равен $\alpha+\dfrac\alpha k$ (в частности, при $k=1$ этот угол равен $2\alpha$).
Рис. 2Рис. 3
Теперь найдём сумму дуг, состоящих из таких точек неподвижных монет,
которых монета $M$ касалась при качении по цепочке. Пусть $O_1$, $O_2$, $\ldots$,
$O_n$ — центры монет цепочки. Сумма дуг, лежащих внутри многоугольника
$O_1O_2\ldots O_n$, равна сумме его внутренних углов, т. е. $\pi(n-2)$.
Сумма дуг, лежащих вне многоугольника, следовательно, равна $2\pi
n-\pi(n-2)=\pi(n+2)$. Из неё нужно вычесть ещё сумму дуг, лежащих в углублениях между двумя соседними монетами, в которые $M$ не попадает. В каждом из $n$ углублений сумма двух таких дуг равна $\dfrac{2\pi}3$ при $k=1$ (рис. 4, а) и $2\arccos\dfrac1{k+1}$ в общем случае
(рис. 4, б). Итак, сумма дуг, по которым прокатится
монета $M$, равна $\pi(n+2)-\dfrac{2\pi n}3$ (в общем случае
$\pi(n+2)-2n\arccos\dfrac1{k+1}$). Чтобы узнать искомое число оборотов,
нужно умножить эту величину на 2 (в общем случае, на $1+\dfrac1k$) и разделить на $2\pi$.
Рис. 4, аРис. 4, б
Ответ.$\dfrac n3+2$ оборотов при $k=1$;
$\dfrac{k+1}{2k}\left(n-\dfrac2\pi n\arccos\dfrac1{k+1}+2\right)$
оборотов в общем случае ($n\ge3$).
В этом решении мы использовали (подсчитывая «потери» в углублениях между монетами) то, что монета $M$ прокатывается по всем $n$
монетам подряд, без исключения. Как правильно заметил читатель
А. Вировлянский из Горького, приславший нам решение, это условие необходимо для того, чтобы задача имела определённый ответ. Для цепочек с «узкими просветами» (см. рис. 5), разумеется, нельзя только
по числу $n$ узнать, на сколько повернётся монета $M$. Достаточным, но не необходимым условием, чтобы задача была разрешимой, является следующее:
многоугольник $O_1O_2\ldots O_n$ выпуклый.
Рис. 5Рис. 6
Подумайте, как получить ответ, если вместо замкнутой цепочки
имеется просто одна монета, две касающиеся друг друга монеты и вообще
незамкнутая цепочка из $n$ монет $O_1$, $\ldots$, $O_n$, в которой $O_k$ касается
$O_{k+1}$, расположенных так, что $M$ может прокатиться туда и обратно по всем монетам в таком порядке: $O_1$, $O_2$, $\ldots$, $O_{n-1}$, $O_n$,
$O_{n-1}$, $\ldots$ $O_1$ (рис. 6). (Указание.Достаточно в написанных выше формулах заменить $n$ на $2n-2$.).
