Хозяйка достала кусок мяса из холодильника, вокруг неё собрались котята.
Раз в минуту хозяйка отрезает кусочек мяса и скармливает его одному из котят
(на свой выбор), причём каждый кусочек должен составлять одну и ту же долю
куска, от которого его отрезают. Через некоторое время хозяйка убирает
остаток мяса в холодильник. Может ли хозяйка скормить котятам поровну мяса,
если всего котят
Пусть вес исходного куска равен 1, а вес куска, оставшегося после первого
отрезания, равен $a$. Тогда доля отрезаемого куска каждый раз равна $1-a$.
Значит, вес второго отрезанного куска равен $a(1-a)$, а вес оставшегося
равен $a-a(1-a)=a^2$ и так далее: после $k$-го отрезания вес оставшегося
куска равен $a^k$, а вес отрезанного равен $(1-a)a^k$. Сократив на $(1-a)$,
получим, что задачу можно переформулировать следующим образом.
Для некоторого числа $a\in(0;1)$ и некоторого натурального $n$ нужно
разбить числа 1, $a$, $a^2$, $\ldots$, $a^{n-1}$ на $k$ групп с равными
суммами (где $k$ в пунктах а), б), в) равно соответственно 2, 3 и 4).
а) Пусть $a\in(0;1)$ — корень квадратного уравнения $1=x+x^2$ (можно
указать явно: $a=\dfrac{\sqrt5-1}2$). Тогда нужное нам разбиение:
$$
\{1\}\quad\text{и}\quad\{a,a^2\}.
$$
б) Пусть $a\in(0;1)$ — корень кубического уравнения $1=x+x^3$ (такой
корень найдётся, потому что при $x=0$ правая часть меньше 1, а при $x=1$ она больше 1).
Поскольку $1=a+a^3$, то для любого натурального $k$ выполнено равенство
$a^k=a^{k+1}+a^{k+3}$. Тогда
$$
1=a+a^3=(a^2+a^4)+a^3=a^2+(a^5+a^7)+(a^4+a^6)=a^2+a^4+a^5+a^6+a^7.
$$
Таким образом, для $n=8$ и указанного $a$ числа 1, $a$, $\ldots$, $a^7$
можно разбить на три группы с равными суммами:
$$
\{1\},\quad\{a,a^3\},\quad\{a^2,a^4,a^5,a^6,a^7\}.
$$
в) Пусть теперь $a\in(0;1)$ — корень кубического уравнения $1=x^2+x^3$
(такой корень найдётся, аналогично доказательству в пункте б).
Заметим, что $$
a^4-a^2-a+1=(a-1)(a^3-a^2-1)=0,
$$
значит, $1+a^4=a+a^2$. Следовательно, для любого натурального $k$ выполнены
равенства
$$
a^k=a^{k+2}+a^{k+3}\quad\text{и}\quad a^k+a^{k+4}=a^{k+1}+a^{k+2}.
$$
Тогда $1=a^2+a^3=a+a^5$‚ что также равно
$$
\begin{gather*}
a^2+a^3=(a^4+a^5)+a^3=a^3+a^5+a^4=a^3+a^5+(a^6+a^7)=a^3+(a^5+a^6)+a^7=\\
=(a^5+a^6)+(a^4+a^8)+a^7=a^4+a^6+a^5+a^8+(a^9+a^{10})=\\
=a^4+a^6+a^5+a^9+a^8+a^{10}=a^4+a^6+(a^7+a^7)+a^9+(a^{10}+a^{11})+(a^{12}+
a^{13}).
\end{gather*}
$$
Таким образом, для $n=14$ и указанного $a$ числа 1, $a$, $\ldots$, $a^{13}$
можно разбить на четыре группы с равными суммами:
$$
\{1\},\quad\{a,a^5\},\quad\{a^2,a^3\},\quad\{a^4,a^6,a^7,a^8,a^9,a^{10},
a^{11},a^{12},a^{13}\}.
$$
Пункты а) и б) были предложены первым автором на Турнир городов и Московскую математическую олимпиаду. Второй автор первым привёл пример для $k=4$. Отметим, что в процессе работы команды составителей над вариантами
олимпиады были найдены и другие примеры. Скажем, в пункте б) работают
следующие разбиения. Для $a$ — корня уравнения $1=x=x^3$:
$$
\begin{gather*}
1=a+a^4+a^6=a^2+a^3+a^5+a^7,\\
1=a^2+a^3+a^4=a+a^5+a^6+a^7;
\end{gather*}
$$
для $a$ — корня уравнения $1=x^2+x^3$:
$$
\begin{gather*}
1+a^4=a+a^2=a^3+a^5+a^6+a^7+a^8+a^9+a^{10}+a^{11}+a^{12}.
\end{gather*}
$$
В настоящий момент неизвестно, разрешима ли задача для $k\ge5$ котят.
А. Устинов опубликовал обсуждение возможных подходов к решению (см.
ресурс https://mathoverflow.net/q/490414/5712).
