В квадрате $ABCD$ на сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно так, что $BE=BF$. Пусть $L$ — середина $EF$, $N$ — середина $DF$, $O$ — центр квадрата, а $K$ — точка
пересечения прямых $AL$ и $DF$ (рис. 1). Докажите, что точки $C$, $K$, $L$, $O$, $N$ лежат
на одной окружности.
Из соображений симметрии ясно, что точка $L$ лежит на диагонали $BD$
(рис. 2). Угол $LOC$ прямой, так как его стороны лежат на диагоналях
квадрата. Точки $C$, $F$, $L$, $D$ лежат на одной окружности с диаметром
$FD$, и, тем самым, с центром $N$. Поэтому $\angle LNC=2\angle
LDC=2\cdot45^\circ=90^\circ$. Значит, точки $O$ и $N$ лежат на окружности с диаметром $LC$.
Рис. 2
Далее, по теореме о внешнем угле треугольника
$$
\angle LKF=\angle LFD-\angle KLF=\angle LED-\angle KLF.
$$
Так как $EF\parallel AC$, а точки $L$, $E$, $A$, $D$ лежат на одной
окружности (с диаметром $DE$), то $$
\angle LKF=\angle LED-\angle KLF=\angle LAD-\angle KAC=\angle CAD=45^\circ.
$$
Поскольку $ON\parallel BC$, имеем $\angle LON=135^\circ$. Следовательно,
$\angle LKN+\angle LON=180^\circ$, т.е. точка $K$ лежит на описанной
окружности четырёхугольника $LONC$. Таким образом, все пять точек $C$, $K$,
$L$, $O$, $N$ лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.
Замечание. В предложенной конструкции можно обнаружить ещё несколько любопытных фактов. Например, из доказанного равенства
$\angle LKF=45^\circ$ следует, что точки $K$, $B$, $F$, $L$ лежат на одной
окружности, откуда $\angle BKD=90^\circ$. Далее, пусть $X$ — точка
пересечения прямых $BK$ и $CD$. Тогда наша окружность $(CKLON)$ является
окружностью девяти точек треугольника $BXD$, поскольку она проходит через
середину $O$ стороны $BD$, а также через основания высот $BC$ и $DK$.
Читатель может продолжить список интересных наблюдений.
