Задача М26‍‍

Функция $f$‍‍ удовлетворяет следующим условиям:

1. $f(1,1970)=1$‍;‍
2. $f(x+1,y)=f(x,y)+5$‍‍ ($1\le x\lt12$‍)‍ — за каждый месяц $f(x,y)$‍‍ увеличивается на 5;
3. $f(1,y+1)=f(1,y)+60$‍‍ — за каждый год $f(x,y)$‍‍ увеличивается нa 60.

Ясно, что этими условиями функция однозначно определяется; её можно задать, например, такой формулой: $$ f(x,y)=5x+60(y-1970)-4. $$

Нетрудно проверить,что $f(5,2003)=2001$‍;‍ $f(6,2003)=2006$‍.‍ Поэтому уравнение $f(x,y)=y$‍‍ не имеет решений.

Правильные решения прислали Е. Орлюк из Житомира, Н. Ильин из посёлка Захар Иркутской обл., М. Перельмутер из Киева и другие читатели.

Из сказанного выше ясно, что если бы мы ввели ещё такую функцию: $f(k,x,y)$‍‍ — номер $k$‍‍-й задачи $x$‍‍-го номера журнала за $y$‍‍-й год ($1\le k\le5$‍,‍ $1\le x\le12$‍,‍ $y\gt1970$‍),‍ то уравнение $f(k,x,y)=y$‍‍ имело бы единственное решение $k=3$‍,‍ $x=5$‍,‍ $y=2003$‍‍ — другими словами, если наша система сохранится до тех пор неизменной (по-прежнему в каждом номере будет пять задач по математике), то третья задача в задачнике «Кванта» № 5 за 2003 год будет иметь номер М2003. Общая формула для $f(k,x,y)$‍‍ такова: $$ f(k,x,y)=k+5x+60(y-1970)-5. $$

Для читателей, пожалуй, полезнее формулы, задающие обратную функцию, которые по номеру $n$‍‍ задачи позволяют найти год $y$‍‍ и номер журнала $x$‍,‍ в котором предлагалась эта задача.

Для этого удобно использовать такие обозначения: $[a]$‍‍ — целая часть числа $a$‍‍ (наибольшее целое число, не превосходящее $a$‍)‍ и $\{a\}=a-[a]$‍‍ — дробная часть числа $a$‍.‍

Проверьте, что $$ x=\left[12\left\{\dfrac{n-1}{60}\right\}\right]+1,\quad y=\left[\dfrac{n-1}{60}\right]+1970. $$