Каждую дробь $\dfrac mn$ можно, разделив её числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, заменить равной ей несократимой дробью. Например,
$\dfrac{288}{504}=\dfrac{4\cdot72}{7\cdot72}=\dfrac47$. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие несократимые дроби.
Докажем утверждение задачи индукцией по $m$. Для $m=1$ оно очевидно:
сама дробь $\dfrac mn$ уже имеет нужный вид. Теперь докажем, что если
утверждение задачи верно для всех дробей с числителями, меньшими чем $m$, то оно верно и для дробей с числителем, равным $m$. Пусть $\dfrac mn$ — такая
дробь ($1\lt m\lt n$). Разделим $n$ на $m$ с остатком; получится частное
($d_0-1$) и остаток ($m-k$), т. е.
$$
n=m(d_0-1)+(m-k)=md_0-k,\tag1
$$
где $d_0\gt1$ и $0\lt k\lt m$. Перепишем (1) так: $md_0=n+k$, или $$
\dfrac mn=\dfrac1{d_0}\left(1+\dfrac kn\right).\tag2
$$
Поскольку $0\lt k\lt m$, дробь $\dfrac kn$ можно представить в нужном виде:
$$
\dfrac kn=\dfrac1{d_1}+\dfrac1{d_1d_2}+\ldots+\dfrac1{d_1d_2\ldots d_r},\tag3
$$
где $d_1$, $d_2$, $\ldots$, $d_r$ — некоторые натуральные числа, большие 1.
Из (2) и (3) получаем
$$
\dfrac mn=\dfrac1{d_0}+\dfrac1{d_0d_1}+\dfrac1{d_0d_1d_2}+
\ldots+\dfrac1{d_0d_1d_2\ldots d_r}.
$$
Дробь $\dfrac mn$ представлена в требуемом виде.
Заметим, что из нашего решения задачи нетрудно извлечь
простой алгоритм — правило, как любую данную дробь представить в виде суммы
(3). Продемонстрируем его на одном примере. Пусть нам дана дробь $\dfrac57$:
$$
\begin{alignat*}{2}
7&=2\cdot5-3;&\quad\dfrac57&=\dfrac12\left(1+\dfrac37\right);\\
7&=3\cdot3-2;&\quad\dfrac37&=\dfrac13\left(1+\dfrac27\right);\\
7&=4\cdot2-1;&\quad\dfrac27&=\dfrac14\left(1+\dfrac17\right).
\end{alignat*}
$$
Итак,
$$
\dfrac57=\dfrac12+\dfrac1{2\cdot3}+\dfrac1{2\cdot3\cdot4}+
\dfrac1{2\cdot3\cdot4\cdot7}=\dfrac12+\dfrac16+\dfrac1{24}+\dfrac1{168}.
$$
Разумеется, могут найтись несколько представлений дроби в виде (3), например:
$$
\dfrac38=\dfrac14+\dfrac38=\dfrac13+\dfrac1{24}.
$$
Решение этой задачи прислал Д. Григорьев.
